時間：2023-09-21 09:26:09
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明確的教學目標是開展高中數學教學的前提．莉萊說:“贏得好射手美名，并非由于他的弓箭，而是由于他的目標．”紀伯倫說:“人的意義不在于他所達到的，而在于他所希望達到的(目標)．”由此可見，目標的存在有著重要的意義．隨著教育模式的創新和變革，當前教育界越來越注重學生的素質教育．在高中數學教學中，教師制定教學目標需要考慮素質教育的影響．在設計教學方案時，為了迎合學生的素質發展，教師往往將教學目標設置為三個領域目標，知識技能領域、過程方法領域以及情感態度領域．針對這三個領域分別設定教學目標，并在教學中采取合適的教學方式完成目標，是培養學生的綜合能力的有效策略．例如，在講“導數計算”時，為了培養學生基本的數學能力，提高學生的運用能力，我設計了三方面的教學目標．知識與技能目標:能夠用定義求四個常用函數的導數，熟悉求導數的三個步驟，使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y=c、y=x、y=x2、y=1x的導數公式，并能運用這四個公式正確求函數的導數．過程與方法目標:通過本節的學習，掌握利用導數的定義求導數的方法．情感態度目標:通過課堂學習，體會導數與數學知識之間的聯系，培養應用意識，提高對問題的分析能力，明白數學在研究整個自然科學中的重要位置．教學目標設定之后，一切教學活動就要圍繞著教學目標進行．這樣一來，整節課就有了主心骨，讓學生知道自己該干什么，該學什么，提高學生的學習能力．
二、突出教學重點
教學重點是整節課堂中重要的內容．在高中數學教學中，教師要對教材內容進行詳細分析，尤其是教學重點和難點．一節課的主要教學內容就是重難點部分．在教學過程中，教師要將本節課的重點內容列在黑板上，時刻提醒學生，引起學生的重視．教師還要利用豐富的教學工具，強化學生的記憶，刺激學生的大腦．例如，在講“互斥事件”時，我將教學重點設置為互斥事件的概念及其概率的求法．我以探究為主導策略，為學生的探究活動精心創設問題情境，調動學生的積極性和參與性，并對學生的探究結果給出客觀性的評價．此外，我留出部分時間供學生理解和消化所學知識．我提出一個案例問題:在一個盒子內放有10個大小相同的小球，其中有7個紅球，2個綠球，1個黃球，若從盒中摸出1個紅球記為事件A，從盒中摸出1個綠球記為事件B，從盒中摸出1個黃球記為事件C，則事件A、B、C之間存在怎樣的關系?引導學生對這個案例進行分析，使學生在分析的過程中領悟本節課的學習重點———互斥事件的概念及其概率的求法．經過學生的思考和探究，再加上我在課堂上的講解和引導，學生最終明白事件A與B不可能同時發生．這種不可能同時發生的兩個事件叫作互斥事件．突出教學重點，能夠幫助學生提高學習效率，培養學生的綜合能力．
中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）01-0166-02
數學是一門具有獨特魅力的學科。在高中數學里我們會學到很多有趣的數學符號以及復雜的函數，當然還有很多復雜的數學問題。高中數學主干知識包括函數與導數、數列、三角函數、證體幾何、解析幾何、概率與統計，這些主干知識足以支撐高中數學知識體系的主要內容，構成了高考數學試卷的主體。在函數與導數這一重點模塊當中便有許多值得探究的問題，為了認清這一模塊，我們將從導數與函數的思想概念、地位以及它們在數學中的應用著手，仔細分析導數與函數間的關系，為此我們作了研究并從例子中分析導數與函數的融會以及它們的作用。本文主要分成兩部分，第一部分在參考了文獻的基礎上對導數與函數的概念及其關系做出了解答，并且詳細地闡釋了導數的思想及其在高中數學中的工具性地位。第二部分是論文的重點部分，在對導數與函數的運用中，通過導數解決單調性問題，通過導數求最值、證明不等式等展開對導數應用方面的詮釋，包括了通過歷年的高考例題來解析導數與函數在高考中的重大作用。
一、理解導數，掌握導數的思想和概念
1.高中數學中的導數概念。導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它是由平均變化率到瞬時變化率引出和定義的，導數的幾何意義是曲線的割線逼近曲線的切線，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。導數可以說是新課程改革與舊課程的一個區分點，也是新教材的一個亮點。因為導數的應用非常廣泛，它是連接高中數學與大學數學的紐帶，用它可以解決許多數學問題。目前，隨著新課程改革的不斷推進，對導數知識考查的能力要求也逐漸提高，而且對導數的考查已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析問題和解決問題時的有力工具。
2.高中數學中導數的思想及工具性地位。函數與導數是高中數學的核心內容，在導數應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維、簡化解題過程的目的。而導數已由解決問題的輔助工具上升為解決問題的必不可少的工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性、極值、最值以及切線問題。
二、函數解題需要導數
1.函數中運用導數的思想。函數中運用導數的思想主要有四種：等階轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想和數形結合思想。等階轉化就是“把要解的題轉化為已經解過的題”就是把未知解的題轉化到在已有知識范圍內可解問題的一種重要思想方法。等階轉化在導數及其應用中主要用來解決有關恒成立、函數的單調性等問題。函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題、解決問題。方程問題是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程或不等式），然后通過解方程或不等式來使問題獲解。而函數與方程的思想在導數及其應用中主要用來解決生活中的優化問題以及構造函數證明不等式問題。在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。它在導數及其應用中主要用來求解單調區間、參數問題、極值、最值及恒成立問題等。數形結合思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來。數形結合思想在導數及其應用中主要用來解決方程根的問題。因為函數是貫穿中學數學的一條主線，是數學高考考查的重點。而函數是中學數學研究導數的一個重要載體。通常遇到復雜函數的時候難以利用普通的手段進行求解，所以采用對函數求導的方式可以克服此類問題，從而達到從繁化簡的效果。
2.函數中導數的應用。高中數學中導數有很大的作用，主要表現在三個方面。①導數解決單調性問題，當函數表達形式比較復雜，并且用初等函數不能求解的時候，可以考慮使用導數求解的方法，通常可以求出函數的導數，然后再求解導數的不等式。函數f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的單調區間。函數f（x）的定義域是（-1，+∞）且函數的導數是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成兩個分進行求解，一部分是-1≤a≤0時，f（x）0時，f（x）=0，則無論是導數還是函數，都會隨著x的變化而變化。根據x的取值變化可以化一個表來看函數和導數的變化范圍和區間，由此可見，當a在（-1，+∞）區間變化時，函數是單調遞減的，余下的部分是單調遞增。導數在解題時出現最多的就是分類討論的問題，解決此類問題，需要找到分類點和畫表，根據表格x值得走向來判斷函數是遞增還是遞減。②導數求解函數的最值問題，函數最值的問題也是常考的題型之一，對于閉區間的可導函數求其最值可以先求極值，根據極值與函數進行比較，確定最大值與最小值。函數f（x）=-x3+9x+a，閉區間[-2，2]，最大值為20，給出函數式子求最值。這種問題一般都會有兩個問題：第一個問題，會對函數的單調增減區間進行探討，然后給定一個閉區間求最值，最值包括最大值和最小值。第二個問題，閉區間會給你固定值，并且還會有最大的取值，從計算的過程中看，可以將閉區間兩端的值代入導函數中，求出一個公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根據第一問討論的單調遞增與遞減區間的確定，確定其大小值，求解a的值。③導數證明不等式問題，導數證明不等式的問題，最關鍵的步驟要構造函數，利用導數判斷單調性，來證明不等式。利用函數的單調性證明不等式，最關鍵需要構造一個函數，利用相應區間上證明不等式的知識來判斷其單調性。根據以上的分析，可以解決數學的問題，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，過程比較簡單，能夠加強導數的教學任務，可以提供一個清晰的思想，一個新的解題方法。
三、從高考命題來解析導數
1.導數在高考上的運用趨勢。近幾年來利用導數與函數、數列、三角函數、向量、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查學生應用數學知識解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點。因此，在命題上導數充分突顯出其“工具性”的作用，在處理各類交匯性問題上，在處理曲線的切線、函數的最值（極值）及單調性、參數的范圍、實際生活中的優化等問題方面，導數發揮著重大作用，所以導數是高考解答題命題的熱點內容。例1：（重慶·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸.（1）求a的值；（2）求函數f（x）的極值。解：（1）對f（x）求導，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，所以該切線的斜率為0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），則f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-
1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定義域，舍去），當x∈（0，1）時，f'（x）
2.運用導數的解題技巧。①求導后導數的幾個固定形式：a.含分母的導數形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此類導數由含lnx的函數求導得到，所以定義域為（0，+∞），此時導數的正負與分母無關，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0時Δ與0的關系即可；b.含ex的導數形式，此類導數的正負與ex無關；c.含三角函數的導數形式，利用三角函數的有界性。②二次求導的使用：當遇到含ex的復雜形式函數時可以采用二次求導的方法，例如設函數f（x）=ex-1-x-ax2。若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。一階求導f'（x）=ex-1-2ax，二階求導f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小與二階導數與0的關系，而二階導數與0的關系決定一階導數的單調性，若一階導數單調則必有f'（x）≥f'（0）=0成立，從而獲得原函數的單調性。③恒成立的應用：恒成立是導數問題中永恒的話題，歸結為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題，所以是導數應用的一個最重要的體現。在導數問題中，幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題。
四、結論
1.重視導數方面的學習，弄清導數的概念。
2.有必要強調導數的工具作用。
3.進一步加深對函數的理解和直觀認識。總之，導數引入中學數學教材后，使傳統中學教學內容注入了新的生機與活力，如何更好地利用導數這一工具來重新認識原中學課程中的有關問題并為解題提供新的途徑和方法已經成為當今中學數學教學要面對的嶄新課題。
隨著時代的發展，特別是適應課程改革和考試改革的需要，數學教學應“與時俱進”，重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵導數作為新增內容，在研究函數的性質中發揮了重要的作用。函數是高中數學的主線，因此導數與高中數學的融會關系將會更近一步。高中數學是高中課堂極為重要的一門功課，在高考中占據很大的分量。導數作為高中數學的重要知識，不僅蘊含著豐富的數學思想，也是一種簡捷而有效的解題工具，對于解決數學問題有極大的幫助，因此本文希望通過導數與函數間解題研究能夠幫助廣大同學更好地學數學。
參考文獻：
函數是高中數學的主要板塊，也是數學教學的主線，貫穿于整個高中數學的始終，函數思想在高中數學中起到了橫向聯系和紐帶的作用，但由于高中函數內容的抽象性、分散性以及函數應用的廣泛性、隱蔽性，再加上多半老師缺乏系統性和正統性思維，在進行函數教學時以章按節，照本宣科，往往只注重局部函數知識的教學，缺乏對教學內容的整合與聯系，不是以學習過的函數基礎做鋪墊與后繼的基本初等函數內容的學習聯系起來“螺旋上升”，而是急切地期望學生對函數的概念理解能一步到位，于是對抽象的函數符號深摳深挖，并設置一些抽象的函數概念題進行訓練，結果事與愿違，師生俱憊，部分學生甚至對函數學習形成了一種恐懼心理，影響了后繼學習的信心。
整體教學法又稱為結構教學法，即學科的概念、原理、思想、方法及其相互聯系形成整體。20世紀50年代初布魯納就推崇結構主義教學論，他提出了學科的基本結構，他認為教師的教學要重視學科的基本結構，要對教材的結構進行梳理，要幫助學生獲取和掌握學科的基本結構，掌握學科的基本結構有助于更好地設定教學目標，培養學生的學習興趣，增進學生學習的遷移，提高學習能力和學習效果。
高中數學教材中函數的結構脈絡為函數的概念、具體的函數模型、函數的應用和研究函數的思想工具。下面筆者就高中各階段的函數教學分析及筆者作法進行闡述：
一、高一階段
高一階段學習函數是在初中初步學習了函數的概念、表示方法以及函數的作圖并具體地學習了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的基礎上，對函數概念再認識，即用集合、映射的觀點理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，并在此基礎上研究指數函數、對數函數、冪函數等基本初等函數的概念、圖像和性質，從而使學生在第一階段函數的學習中獲得較為系統的函數知識，并初步培養學生函數應用意識，為今后學習打下良好的基礎。這一階段教學應建立在銜接過度、發展學生的思維層面上，主要是建立學生識別圖像、利用圖像和畫出圖像的能力，初步形成數形結合的思想方法。此階段教學重點應該放在概念的形成與建立上。高一數學必修一的教材第一章內容主題就是函數概念及函數性質的相關概念，教材這樣安排使學生未見樹木先看見森林的功效，對后面深入研究每一類具體函數有著指導意義。實踐證明，最初得到“森林概貌”（對函數包括定義、圖像、定義域、單調性、奇偶性、最值等的認識），能使學生在對具體函數研究上始終聯系著“一般”（森林），用“一般”作指導，待具體函數都弄清以后，再總結概括為一般，而這時的一般是以具體問題為背景的。這時的具體問題又是以一般為指導的。從教材編排來看，這樣做可使學生知識結構更加科學系統，更加符合學生的認知規律，更富啟發性。此階段教學應注重數形結合思想的培養與滲透。
二、高二階段
高二階段要進行不等式、線性規劃、數列、圓錐曲線等知識的教學，教學過程中應使學生了解意識到這些知識都可以從函數角度加以認識，都是函數的不同展示形式，引導學生能夠從函數的角度把問題轉化。這一階段教學重點應放在函數的應用上，通過函數這個載體，提升學生對相關知識的理解、應用及解決問題的能力，這一階段的學習學生容易淡化函數在高中數學中的重要性。在這些知識的教學過程中，要將函數思想及其簡單應用穿插其中，需要不斷引導、強化，不斷形成用函數觀點看待問題，逐漸理解函數思想、數形結合等思想方法，并加以簡單應用。再加上該階段學習導數之后，使得函數研究如虎添翼。導數是高中數學與高等數學的一個銜接點，導數在研究函數中的應用為我們解決基本初等函數及簡單的復合函數問題提供了一種一般性方法，是解決實際問題強有力的工具，如在研究函數單調性、討論函數圖像的變化趨勢、求極值和最值、不等式恒成立等問題，運用導數解決這類問題能化繁為簡，具有事半功倍的作用。
三、高三階段
高三階段一般要進行高考全面復習，函數復習仍然是復習的重點，首先應整體把握高考對函數內容的考法。我們知道函數不僅是高中數學的核心內容，還是學習高等數學的基礎，所以在高考中函數知識占有極其重要的地位。其試題不但考察函數基礎知識，而且注重考查學生數形結合、分類討論等重要的數學思想方法。 從歷年高考真題來看，考察內容主要為初等數學所學的函數內容，也不乏以高等數學函數相關的重要定理換成初等數學的敘述方式出題（如拉格朗日中值定理，有界性定理、函數的凹凸性、不動點原理等）。考察形式為填空題、選擇題與解答題，選擇、填空題履蓋了函數的大部分內容，如函數的定義域、值域，函數的圖像與性質（單調性、奇偶性、周期性等），而解答題除了三角函數屬于基礎題外其余的多以知識交匯題為主，不僅在內容上涉及函數與方程、不等式、數列、方程的曲線等多方面內容甚至以抽象函數或高等數學知識為背景，更注重對知識的綜合應用能力以及數學思想方法的考查。因此，在函數復習過程中，首先應把握高考命題題型與趨勢，其次復習策略的選擇也很重要。此階段，首先應夯實基礎。筆者在復習過程中反復結合上述的函數整體結構圖，進一步強化“總-分-總”的學習策略，同時要求學生進一步細化拓展這份結構圖，使得每一部分內容都豐富起來，將所學知識系統化、結構化、網絡化。 通過這種繼續構建的知識結構圖，最后組成了一張龐大的函數知識結構網，幾乎呈現了高中數學的全部基礎知識及其相互聯系，這樣在整個復習過程中相關基礎知識得到了夯實。其次，帶領學生熟悉考綱，明確考綱規定的基礎知識、基本技能以及基本的數學思想方法，研究和把握高考命題趨勢和題型，抓住重點知識，設置好例題和習題的類型、梯度和難度，注重解題方法及數學思想方法的提煉與概括，循序漸進地提高學生分析問題、解決問題的能力，同時注意鍛煉學生的心理素質。
總之，數學教學應當“教 結構良好的知識”、應當“既講邏輯又講思想”，在高中函數教學過程中，我們要注重函數知識體系的整體把握，注重函數知識間的聯系，注重函數數學思想方法的滲透，這樣才能不斷完善和優化學生的認知結構，不斷提高學生的數學素養。
參考文獻：
[1]普通高中課程標準試驗教科書[M]。北京：人民教育出版社.
長期以來,由于受應試教育的影響,不少教師重解題、輕概念,造成數學概念與解題脫節的現象。有些教師僅僅把數學概念看作一個名詞,概念教學就是對概念作解釋,要求學生記憶。而沒有看到像函數、向量這樣的概念,本質是一種數學觀念,是一種處理問題的數學方法。一節“概念課”教完了,也就完成了它的歷史使命,剩下的是趕緊解題,造成學生對概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和運用概念,嚴重影響了學生的解題質量。如何搞好新課標下的數學概念課教學?
一、概念教學中,要根據階段教學要求,準確把握教學尺度
高中數學新課程標準對每個年級、每個階段的教學都提出了明確的教學要求,教師一定要根據教材的編排意圖和階段教學要求,準確把握教學尺度,幫助學生形成正確、清晰的概念。
二、在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上理解概念
新概念的引入,是對已有概念的繼承、發展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個層次,逐步加深提高。教師通過新舊概念比較分析,能使學生發現、理解新舊概念間的聯系,從而掌握概念的方式叫概念同化。因此,在概念教學中教師不能忽視“概念同化”這一獲取概念的主要形式。隨著學生年級的升高,已學知識的積累,“概念同化”應逐步成為學生獲取概念的主要形式。
三、概念教學不能忽視聯系實際
高中生學習數學,常常要通過形象、具體、直觀的感性材料,逐步抽象概括出數學概念,因此教師不能忽視聯系實際這一環節。如在起始概念教學中,教師可聯系學生日常生活實際,通過列舉學生熟悉的具體事物引入概念;在教學過程中,重視挖掘與生活實際聯系的因素,使學生掌握概念,并能夠應用概念解決生活中的數學問題。
四、對不同的概念,要采取不同的方法
有時教師只需在例題教學中實施概念教學。比如:相關關系的概念是描述性的,不必追求形式化上的嚴格,建議采用案例教學法。對比函數關系,重點突出相關關系的兩個本質特征在:關聯性和不確定性。關聯性是指當一個變量變化時,伴隨另一個變量有一定的變化趨勢;不確定性是指當一個變量取定值時,與之相關的變量的取值仍具有隨機性。因為有關聯性,才有研究的必要性。因為其不確定性,從少量的變量觀測值,很難估計誤差的大小,所以我們必須對變量進行大量的觀測。但每個觀測值都有一定誤差,為了消除誤差的影響,揭示變量間的本質聯系,我們就必須用統計分析方法。
教師可先介紹概念產生的背景,然后通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子,使學生在對具體問題的體驗中感知概念,提煉出本質屬性。如:“異面直線”概念的教學,教師可以在長方體模型或圖形中(或現有的教室中),引導學生找到既不相交又不平行的兩條直線,直接給出像這樣的兩條直線叫“異面直線”。然后教師畫出一些看起來是異面直線其實不是異面直線的圖,以完善異面直線的概念,再給出簡明、準確、嚴謹的定義。最后教師可讓學生在各種模型中找出、找準所有的異面直線,以體驗概念的發生發展過程。
有時教師可聯系其它概念,借助多媒體等一些輔助設施進行直觀教學。比如:導數是微積分的一個核心概念,它有著極其豐富的背景和廣泛的應用。在高等數學里,導數定義為自變量的改變量趨于零時,函數的改變量和相應的自變量的改變量之比的極限(倘若存在),涉及有限到無限的辯證思想,這樣的數學概念是比較抽象的,這與初等數學在知識內容、思想方法等方面有較大的跨度,學生剛接觸導數概念,往往把導數作為一種運算規則來記憶,卻沒有理解導數概念的內涵和基本思想。教師可在導數教學前要加強變化率的實例分析;利用多媒體的直觀性,幫助學生理解動態無限趨近的思想;利用APOS理論指導導數概念教學。
有時教師可在情景設計、意義建構、例題講解、課堂小結整個教學環節中實施。比如“函數”一課。我們知道函數是一個核心概念,函數思想是一種核心的數學思想方法。一位教師用三個實例(以解析式、圖像、表格三種形式給出)設計情景,以小組討論的形式讓學生自己歸納出函數概念及三要素,又用四個例題層層深入地加深對概念的理解。整堂課緊緊圍繞函數概念和思想方法進行教學,有“簡約”而“深刻”的效果。
概念是人們對客觀事物在感性認識的基礎上經過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動,逐步認識到它的本質屬性以后才形成的,數學概念也不例外。因此,數學概念的產生和發展,人們對數學概念的認識都要經歷由實踐、認識、再實踐、再認識的不斷深化的過程。學生要形成、理解和掌握基本的數學概念也是一個十分復雜的認識過程,這就決定了對較難理解的數學概念的教學不能一步到位,而是要分階段進行。
五、新概念的鞏固與運用
教師應用精選實例、設計巧題、加強練習等方法鞏固和運用概念,使學生通過概念的掌握與運用,最終掌握數學思想方法。學生認識和形成概念,理解和掌握之后,鞏固概念是一個不可缺少的環節。
數學史在數學教育中有著重要的地位，它在幫助學生理解新知識、新概念，掌握新方法等方面，有著很大的作用，同時在培養數學素養，感受數學精神，養成良好的習慣方面能起到很好的促進作用。本文通過導數概念的引入教學，從一個側面反映出數學史在高中數學教學中的地位及作用，以求拋磚引玉。
一、數學史在高中數學教學中具有突出的重要性與必要性
《課程標準》明確提出：“讓學生經歷知識的產生、發展過程，感受數學的內涵與本質。”起初覺得執行起來非常困難，也沒太大必要。隨著經驗的積累，筆者的這種想法發生了改變。學習科學能給人以力量，讓人們受到鼓舞，獲得信念與勇氣，然而只是簡單而粗糙地“告訴”學生這些科學，顯然與新課程標準的精神不相符合。因此，讓學生經歷這些理論的形成的過程不僅能讓學生獲得科學知識，更重要的是讓學生在學習過程中受到啟發，培養勤于思考，勇于創新的能力，不斷提高數學素養。
實踐中，筆者大膽引入了數學史的教學。下面是筆者對該節課的教學設計，節選了其中的教學過程部分。
二、導數概念的背景及產生過程
（一）教學設想
遵循“創設問題情景提出問題分析問題解決問題”的原則。
（1）通過具體實例分析，讓學生經歷用變化率刻畫變化的快慢，從平均變化率到瞬時變化率的認識過程，進而給出導數概念和導數的幾何意義。
（2）通過導數概念的形成過程，理解生活中數學概念的基本發展過程，初步學會用極限的思想分析并解決問題。
（3）分析生活中的各種現象最后將其統一為數學中的導數概念過程，認識到數學與生活的聯系和數學在實用性方面的巨大力量，進而對數學中蘊涵的理性美產生發自內心的欣賞情感。
（二）教學過程
平均變化率瞬時變化率導數。
1.平均變化率的再認識
通過教材中的實例分析，讓學生理解平均速度可以刻畫物體一段時間的運動快慢，并結合相應的圖像，體會圖像的“陡”“坡”與平均變化率的關系，最后抽象概括出平均變化率的一般數學概念：
y f（x1）-f（x0） f（x0+x）-f（x0）
x x1-x0 x ，
其中 x=x1-x0
2.瞬時變化率的認識
一方面，讓大家理解瞬時速度的產生過程，另一方面，讓大家理解切線斜率的產生過程，而這兩方面正是牛頓與萊布尼茲的研究過程。
問題1：前面我們已經明白平均速度可以刻畫物體一段時間內的運動快慢，那么在一點處的速度如何刻畫呢？我選擇了一個較為簡單的例子：
若一物體運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數關系為：s=t2，試估計t=5s這個時刻的瞬時速度。
學生經過一段時間的思考與分組討論后，我介紹了相應的數學史：
因為瞬時的速度很難測量，直到牛頓的發現，這一難題才得到解決。大家想不想知道牛頓是怎樣思考的呢？
能否用平均速度近似代替瞬時速度？如果可以，以怎樣一個平均速度代替較好的呢？我選擇了5～10s的平均速度，―=―=15m/s，此時的誤差難以避免，但是能不能減少誤差呢？剛才我選擇的區間較大，能不能縮小些呢？大家在我的引導下，選擇5～6s的平均速度，―=―=11m/s，誤差縮小了，能不能再減少誤差呢？大家發現隨著區間的不斷縮小，所得平均速度分別為10.1，10.01,10.001,10.0001，……越來越接近一個確定的常數10，到底5s處的瞬時速度為多少？很多同學說，近似為10m/s，大約是10m/s。我又問大家什么是大約10m/s，10.1叫大約，10.01也叫大約，10.001還叫大約，可見這種說法還不夠科學準確。我告訴大家，如果當初牛頓只停留在無休止的運算當中，就永遠也得不到偉大的結果，而只是停留在無休止的量變過程中。其實要完成從量變到質變的飛躍，只需跨出那小小的一步，我們共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改變到質的飛躍？那么在5s處的瞬時速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少剛剛好。”大家較為整齊地回答。看起來大家好像明白了一些，但還是有疑惑，我就鼓勵大家：人類經歷這一過程花去了幾百年的時間，而現在讓大家用十幾分鐘的時間來理解確實很困難，隨著時間的推移，大家的知識不斷積累，會慢慢明白這一道理的，而后來恩格斯評價這一飛躍時稱：“這是人類精神上的最高勝利。”
問題2：如圖，P（xo，yo）是f（x）=x2+1圖象上一點，那么如何求該圖象在P（xo，yo）處的切線的斜率呢？
在x0過程中，割線AB的變化情況你能描述一下嗎？請在函數圖象中畫出來。
引導學生觀察：類比數、形的變化：
x0， B（x0+x，f（x0+x））A（x0，f（x0）），
當x0，割線AB有一個無限趨近的確定位置（演示動畫），這個確定位置上的直線叫曲線在x=x0處的切線，請把它畫出來。
x0，割線AB切線AD，則割線AB的斜率切線AD的斜率
有了前面的基礎，大家理解起來簡單容易得多，但同時也發現兩個過程中具有相似之處，就是用無限逼近的思想，完成了由量變到質變的過程。
問題3：運用上面的方法求瞬時速度和切線斜率顯然太過復雜，能否簡化解題步驟呢？這樣的問題是為了下節課導數的運算法則提供知識和思維的準備。
最后我讓大家談談本節課的體會和收獲，很多同學都談到了收獲知識的同時，感受到科學發現不僅需要勤奮不懈，更需要巨大的膽識與異于常人的勇氣。
三、課后評價與反思
本節課在整個教學設計過程中始終圍繞一個主題――探究前人偉大發現的足跡，再現當年歷史。在教學過程中，讓同學們感受到數學歷史的發展，以及蘊涵在數學中深刻而豐富的哲學思想。通過這節課的學習，給學生以鼓舞與信心，促使他們達到端正學習態度的目的。
數學史在教學中的應用在高中階段可以說無處不在，除了導數與積分外，像指數函數與對數函數、數列、簡單線性規劃等，都與數學史息息相關。在平時的教學教研活動中，教師如果能進一步探討數學史與課堂的有效結合，必將促進學生學習數學知識的同時，使其受到良好的數學文化的熏陶。
參考文獻：
1 數學概念的特點和學習意義
數學概念是反映一類對象本質屬性的思維形式，它具有相對獨立性。概念反映的是一類對象的本質屬性，即這類對象的內在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象是現實世界的數量關系和空間形式，它們已被舍去了具體物質屬性和具體的關系，僅被抽取出量的關系和形式構造，在某種程度上表現為對原始對象具體內容的相對獨立性。
數學概念教學在中學數學中非常關鍵，是學好數學的重要一環，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎。有的學生數學成績差，最直接的一個原因就是概念不清，尤其是普通中學的學生，數學素養差的關鍵是在對數學概念的理解、應用和轉化等方面的差異。因此，要想提高中學數學教學質量，最重要的就是要抓好概念教學。教學過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學的契機，以提高大多數學生的數學素養是完全可以做到的，同時，數學素養的提高也為學生的各項能力和素質的培養提供了有利條件以及必要保障。
從平常數學概念的教學實際來看，學生往往會出現兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的、零碎的認識.這樣久而久之，嚴重影響了對數學基礎知識和基本技能的掌握和運用.比如有同學在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的.只有真正掌握了數學中的基本概念，我們才能把握數學的知識系統，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象.從一定意義上說，數學水平的高低，取決于對數學概念掌握的程度。
2 新課程觀下要有效實施新課程下數學基本概念教學，必須重視以下幾個重要環
（1）數學基本概念教學，要充分挖掘數學概念產生的知識背景，讓學生體驗在概念產生過程中學習數學概念首先，新課程在不同年級的數學知識結構上發生了很大的變化，如果我們還是采用傳統的方式進行概念教學，那么在新教材中恐怕很難達到預期的教學目標。其次，一個數學概念的產生，都有著豐富的知識背景，而通過了解這些背景知識來認識一個數學概念，是最佳途徑。
通過充分挖掘相等向量和共線向量（平行向量）的幾何背景，讓學生經歷從線段的幾何性質有向線段的幾何性質抽象概括出相等向量和共線向量（平行向量）的定義，這樣，學生對相等向量和共線向量（平行向量）概念就有深刻的認識；如果忽略了知識背景分析，那么我們就犯下了一個嚴重的錯誤：失去了對學生培養抽象概括能力和創造精神的好機會。因此，數學基本概念教學在呈現方式上，不能機械地照本宣科授課，教師要深挖數學概念的知識背景，精心創設情境，適當地開展“發現”式數學活動，讓學生在學習數學概念的同時還能發展他們的創造性思維。
（2）數學基本概念教學，要重視問題性在數學概念的形成過程的“關鍵點”上，以恰時恰點的問題引導數學活動，有利于明確學生思維的方向、培養問題意識，孕育創新精神。在集體備課時，有些老師往往會運用關聯性不強的問題湊合成“問題串”來啟發學生抽象概括出數學概念，這是有害無益的。那種忽視新教材設置欄目，不引導學生分析研究，直接給出抽象概念的方法也是不可取的。提倡“數學基本概念教學，要重視問題性”，但是問題的設置要在“關鍵點”上，這樣，才能明確學生思維的方向、幫助學生從實際問題中抽象概括出數學概念。在進行數學基本概念課堂教學中，要重視在學生思維的“最近發展區”設計合適的、具有啟發性的問題串，通過“觀察、思考、探究”學習數學概念，從而培養學生的問題意識和抽象概括能力。
（3）數學基本概念教學，要重視創設體現數學概念的思想方法的情境新教材是以數及其運算、函數、空間觀念、數形結合、向量、導數、統計、隨機觀念、算法等核心概念和基本思想為貫穿整套教材的靈魂，而數學思想方法是人們認識數學的意識，是將知識轉化成能力的橋梁，因此，創設體現數學概念的思想方法的情境是數學基本概念教學的出發點和落腳點。例如，以上所談到的向量概念教學中所創設問題情境，就隱含了分類和類比的思想方法，在相等向量和共線向量（平行向量）的課堂教學中所創設的問題情境，就隱含了數形結合的思想方法。
（4）數學基本概念的教學，要注重概念聯系性由于新教材要求：以核心知識（基本概念和原理，重要的數學思想方法）為支撐和聯結點，螺旋上升地組織學習內容。因此，在課堂教學中引導學生深入挖掘概念的內涵和外延，建立新舊概念間的聯系，是符合新課程要求的，而且對幫助學生準確理解數學概念、完善構建知識體系是有有益的。例如，“變化率與導數”的概念教學時，引入導數概念后，在說明“氣球半徑r關于體積V的導數就是氣球的瞬時膨脹率、高度h關于時間t的導數就是運動員的瞬時速度”的同時，可以再結合具體例子來加深理解導數的概念內涵。
高中階段物理學習中涉及很多抽象的物理概念及物理量，其中有很多是由導數定義的，這些物理量一般反映某物理量關于時間或位置坐標變化的快慢即變化率，它往往具有瞬時性，屬于狀態量.學生因為不能直觀地定義它們，所以對概念和物理量的記憶、理解、運用產生了障礙.如果弄清了導數，理解和求解這些反映變化率的物理量就變得簡單多了.例如：速度可理解為位置坐標對時間的變化率及V=ΔxΔt=x′（t）；加速度可理解為速度對時間的變化率a=ΔVΔt=V′（t）；感應電動勢可理解為磁通量對時間的變化率E=ΔΦΔt=Φ′（t）；力可理解為動量對時間的變化率F=ΔpΔt=p′（t）；另外還有線速度大小V=ΔlΔt=l′（t）、角速度ω=ΔφΔt=φ′（t）、電流強度i=ΔyΔt=q′（t）等等.
二、運用導數幾何意義討論物理中極值問題
中學物理問題中經常出現極值問題，處理方法很多，常見的有三角函數法、配方法、不等式法、判別式法、求導法等等.其中求導是一種最通用的方法，因為求導法可以適用于各類函數.如：三角函數、指數函數、冪函數等.運用導數求極值首先要搞清導數的幾何意義.導數的幾何意義：函數f（x）在x0處可導，其導數值f ′（x0）表示曲線y=f（x）在（x0，y0）切線的斜率.若f ′（x0）=0，函數f（x）在x0處取極值.運用求導討論物理學中極值問題就是根據導數的幾何意義來求.先寫出物理量變化的函數關系，然后圖1求導，令導函數為零得到極值條件，最后代入原函數求出極值.
下面通過常見實例介紹這種方法.
例我們經常討論真空中兩固定的等量同種點電荷中垂線上各點電場強度隨位置變化的規律，雖然通過電場線分布可以得到定性結論，但不夠嚴謹具體.可以利用導數來做簡單的分析.設它們電荷量均為q，相距為r，沿任意一條中垂線建立x軸，中點O為坐標原點，如圖1所示.則x軸上各點電場強度
E=2kqx（x2+r24）3，求導得E′（x）=2kq（r2/4-2x2）（x2+r24）5
令E′（x）=0，得到極值條件x=±24r和x=±∞，再將條件代入即可以求極值.這里應注意，討論電場強度大小時o點也取極值，討論時要撇除負號對問題的影響，因為電場強度的正負只表示方向不表示大小.
三、運用導數和高階導數擬合物理量變化函數圖像
導數幾何意義中指出，一階導數能反映函數圖像的單調性，二階導數能反映函數圖像的“凹凸”性.一階導數為正值表示遞增、負值表示遞減；二階導數為正值表示圖像“凸起”，負值表示圖像“凹陷”.這一特點在擬合常見的物理量變化函數圖像中運用的十分廣泛.中學物理中關于一階導數運用例子較多，但擬合物理量變化函數圖像時很多師生沒有深入去討論，導致圖像不能反映客觀規律.下面就列舉一個典型的例子.
例如討論純電阻電路時，閉合電路電源輸出功率P隨外電阻R的變化關系通過不等式或求導的方法很容易得到大致的變化關系，并求出最值.若要擬合P-R的函數圖像就不太容易了.首先P隨R增大先增大后減小，會得到如下可能圖像.這幾個圖像在一些教學雜志和教輔資料上都出現過，哪個圖像客觀反映P-R的變化規律呢？
近年來，數學復習資料名目繁多，許多教師過于依賴各類資料，在復習中忽視了書本中的基礎知識。這中做法實際上相當于在復習中失去了基石，現談談本人的一些看法。
一、重視基礎知識、基本技能、基本方法
課本是考試內容的載體，是高考命題的依據，也是智能的生長點，是最有價值的資料，有相當多的高考試題是課本中基本題目的直接引用或稍作變形得來的，其用意就是引導我們要重視基礎，切實抓好”三基”(基礎知識、基本技能、基本方法)。最基礎的知識是最有用的知識，最基本的方法是最有用的方法。在復習過程中，我們必須重視課本，夯實基礎，以課本為主，重新全面地梳理知識，方法，注重知識結構的重組與概括，揭示其內在聯系與規律，從中提煉出思想方法。在知識的深化過程中，切忌孤立對待知識，方法，而應自覺地將其前后聯系，縱橫比較、綜合，自覺地將新知識及時納入已有的知識系統中去，注意通用通法，淡化特殊技巧。
近年來高考數學試題的新穎性，靈活性越來越強，不少學生把主要精力放在難度較大的綜合題上，認為只有通過解決難題才能培養能力，因而忽視了基礎知識、基本技能、基本方法的復習。其實近幾年的高考命題已經明確告訴我們：基礎知識、基本技能、基本方法始終是高考數學考查的重點。選擇題、填空題以及解答題中的基本常規題已達到整份試卷的80%左右，對基礎知識的要求也更高、更嚴了。如果我們在復習中過于粗疏，或在學習中對基礎知識不求甚解，都會導致在考試中判斷錯誤。其實定理、公式推證的過程就蘊涵著重要的解題方法和規律，如果沒有發掘其內在的規律就去做題，試圖通過大量地做題去“悟”出某些道理，只會事倍功半。
二、抓剛務本，落實教材
數學復習任務重，時間緊，但決不能因此而脫離教材。相反，要緊扣大綱，抓住教材，在總體上把握教材，明確每一章、每一節的知識在整體中的地位、作用。
近年來的試題都與教材有著密切的聯系，有的是直接利用教材中的例題、習題、公式定理的證明作為高考題；有的是將教材中的題目略加修改、變形后作為高考題；還有的是將教材中的題目合理拼湊、組合作為高考題。因此，一定要高度重視教材，針對教材所要求的內容和方法，把主要的精力放在教材的落實上，切忌刻意追求偏題、怪題和技巧過強的難題。
學生對基礎知識和基本技能的理解與掌握是數學教學的基本要求，也是評價學生學習的基本內容。高中數學中的基礎知識、基本技能主要包括②，基本的數學概念、數學結論的本質，概念、結論等產生的背景、應用，以及其中所蘊涵的數學思想和方法，和它們在后續學習中的作用。同時，還包括數學發現和創造的一些基本過程。
高中數學考試的內容選取，要注重對數學本質的理解和思想方法的把握，避免片面強調機械記憶、模仿以及復雜技巧。尤其要把握如下幾個要點：
1、關于學生對數學概念、定理、法則的真正理解。尤其是，對數學的理解，至少包括能否獨立舉出一定數量的用于說明問題的正例和反例。
2、關于不同知識之間的聯系和知識結構體系。即高中數學考試應關注學生能否建立不同知識之間的聯系，把握數學知識的結構、體系。
3、對數學基本技能的考試，應關注學生能否在理解方法的基礎上，針對問題特點進行合理選擇，進而熟練運用。同時，注意數學語言具有精確、簡約、形式化等特點，適當檢測學生能否恰當地運用數學語言及自然語言進行表達與交流。
三、加強通性通法的總結和運用
在復習中應淡化特殊技巧的訓練，重視數學思想和方法的作用。常用的數學思想方法有：
1、函數思想。中學數學，特別是中學代數，可謂是以函數為中心（綱）。集合的學習，求函數的定義域和值域打下了基礎；映射的引入，使函數的核心----對應法則更顯現其本質；單調性、奇偶性、周期性的研究，是對映射更深入更細致的刻畫；函數與反函數的研究，辨證全面地看待事物之間的制約關系。數列可以看成是特殊的函數。解方程f(x)=0，就是求函數y=f(x)的零點；解不等式f(x)>0或f(x)
2、數形結合思想。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與樹軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等；（5）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。
數形結合的重點是“以形助數”。運用數形結合思想，不僅易直觀發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理。大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優勢，要注意培養這種思想意識，要爭取做到“胸中有圖，見數想圖”，以開拓自己的思維視野。
3、分類討論思想。所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的答案。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略。 轉貼于
分類原則：分類的對象確定，標準統一，不重復，不遺漏，分層次，不越級討論。
分類方法：明確討論對象的全體，確定分類標準，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結，綜合得出結論。
4、轉化思想。將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想。化歸與轉化的思想的實質是揭示聯系，實現轉化。
熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯想、機敏的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁；培養訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發現事物之間的本質聯系。“抓基礎，重轉化”是學好中學數學的金鑰匙。
四、幫助學生打好基礎，發展能力
教師應幫助學生理解和掌握數學基礎知識、基本技能，發展能力。具體來說：
1、夯實基礎、加強概念教學：歷年高考都有40%左右分值比重的試題綜合性較弱、難度較低、貼近教材，解答過程較為直觀且命題方式相對穩定，用以考查學生基礎知識的掌握情況。有40%左右分值比重的試題綜合性較強，命題較為靈活，難度相對較高，用以考查學生的基本能力。知識是基礎，能力的提高和知識的豐富是相互伴隨的過程，要意識到基礎知識的重要性，常規教學中一味求難求變的作法是不可取的，抓住基礎知識是全面提高教學質量和高考成績的關鍵。數學科學建立在一系列概念的基礎之上，數學教學由概念開始，概念教學是基礎的基礎。數學具有高度抽象的特點，概念的形成是教學工作的難點。知識的發生發現過程是概念的形成過程，挖掘并精化知識的發生發現過程，直觀展現知識的發生背景和前人的思維過程，是概念教學的關鍵。數學學習要理解諸多的概念及概念間的關系，概念教學貫穿于數學教學工作的始終。探討概念間的關系，展示概念間的聯系，把諸多概念有機地串接起來，有利于加深學生對概念的理解，有利于“辯證、普遍聯系”的認識觀念的形成，有利于探尋、解決問題能力的提高和數學思想方法的形成。
2、強調對基本概念和基本思想的理解和掌握。教學中應強調對基本概念的理解和掌握，對一些核心概念要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。由于數學高度抽象的特點，注重體現基本概念的來龍去脈。在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質。
3、重視基本技能的訓練。熟練掌握一些基本技能，對學好數學是非常重要的。在高中數學課程中，要重視運算、作圖、推理、處理數據以及科學計算器的使用等基本技能訓練。但應注意避免過于繁雜和技巧性過強的訓練。
隨著時代和數學的發展，高中數學的基礎知識和基本技能也在發生變化。一些新的知識就需要添加進來，原有的一些基礎知識也要用新的理念來組織教學。因此，教師要用新的觀點審視基礎知識和基本技能，并幫助學生理解和掌握數學基本知識、基本技能和基本思想。對一些核心概念和基本思想（如函數、空間觀念、數形結合、向量、導數、統計、隨機觀念、算法等）要在整個高中數學的教學中螺旋上升，讓學生多次接觸，不斷加深認識和理解。在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質，注重體現基本概念的來龍去脈。在新課程中，數學技能的內涵也在發生變化，在教學中要重視運算、作圖、推理、數據處理、科學計算器和計算機的使用等基本技能訓練，但應注意避免過于繁雜和技巧性過強的訓練。
參考文獻
1.2009高考總復習全線突破（數學文科版）山東省地圖出版社，2008.3
一、在導入新知識中進行探究性教學
1.創設問題情境，引導學生思考探究新知識
案例1：在人教A版（選修2-3）1.1“分步乘法計數原理”的引入中我設計了這樣的問題：
如圖，一條電路從A處到B處接通時，有多少條不同的單一線路。
學生們通過探討，很快形成了幾種方法：
生1，用列舉法：K1K3，K1K4，K1K5，K2K3，K2K4，K2K5共6種。
生2，用樹形法：
共6種。
生3，用乘法：共有2×3=6種。
我再請學生根據他們的解答過程，談談對這三種方法的看法，同學們很快說出生3的方法最直接、簡便、快捷。至此，學生對分步乘法計數原理有了理性的認識。
2.在舊有知識的啟發下，引導學生自主探究新知識
案例2：在人教A版（選修2-1）2.2.1“橢圓標準方程”的引入中我設計了這樣的問題：
取長為定值2a的一條繩子，將其兩端點固定在F1F2兩點（2a>IF1F2I），用筆把繩子拉緊后移動筆尖，可畫出一個橢圓。當我們改變F1F2之間的距離時，請說出你觀察后得到的結果。
學生探究后發現，當F1、F2重合時，橢圓就成了圓了。他們通過互相討論，高度興奮地得出下列結論：圓是橢圓的一種特殊圖形；橢圓可看成是將圓上各點向某一對稱軸壓縮而成的圖形。至此，學生對橢圓的生成、概念及與圓的關系有了新的認識。
二、在例習題中進行探究性教學
案例3：在人教A版（選修2-2）1.3“導數在研究函數中的應用”中我用了同一個函數f（x）= x3-4x+4設計了3個例子貫穿整個大節。
例1：求函數f（x）= x3-4x+4的單調區間。
例2：求函數 x3-4x+4的極值。
例3：求函數 x3-4x+4在[0，3]上的最大值與最小值。
例1解決了函數的單調性與導數的問題，例2解決了函數的極值與導數的問題，例3解決了函數的最大（小）值與導數的問題。通過一題多變讓學生前后遷移、上下貫通，多方位體會了導數是研究函數增減、極值、最大（小）值等問題的最一般、最有效的工具。
三、將課堂中的探究性教學向課外延續
案例3：在人教A版（必修5）1.1.1“正弦定理”例2中，我讓學生思考：“對于任意給定的a、b、A的值，是否必能確定一個三角形？”
我先啟發學生得到：“如果已知兩邊及一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解、一解、兩解。”再請同學們深入研究一下這種情形下三角形的問題。
我在課內通過啟發學生分二步探究：
第1步，如果A是：①鈍角時，②直角時，③銳角時；
（一）聚焦導數高考
1.導數考綱解讀
了解導數概念的實際背景，理解導數的幾何意義. 能用給出的初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.能求復合函數（僅形如f（ax+b））的導數.理解函數單調性和導數的關系，能用導數研究函數的單調性.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求（不超過三次）函數的單調區間和極值，會求閉區間上函數的最值.掌握用導數解決實際生活中的優化問題的方法和步驟，如用料最少、費用最低、消耗最省、利潤最大、效率最高等.掌握導數與不等式、幾何等綜合問題的解題方法.
2.縱觀近年導數高考
利用導數處理函數、方程和不等式問題是高考必考的內容，常以大題的形式出現，并有一定的難度，往往放在解答題的后兩題中的一個.試題考查豐富的數學思想，如函數與方程思想常用于解決函數與方程的相關問題，等價轉化思想常用于不等式恒成立問題和不等式證明問題，分類討論思想常用于判斷含有參數的函數的單調性、最值等問題，同時要求考生有較強的計算能力和綜合問題的分析能力.縱觀近幾年各地的高考題，對于導數知識常見的考點有，導數幾何意義的應用，導數運算和解不等式相聯系，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，研究不等式的綜合問題和實際問題的最優解問題.
3.2014年導數命題趨向
伴隨教育教學改革的深入開展，提高學生能力的問題越來越引起重視.由高考命題原則，每年試題追求“能力立意”，但基本平穩.縱觀近年高考分析，求導公式和法則及導數幾何意義是高考熱點，題型既有選擇、填空，又有解答，難度中檔左右，在考查導數概念及運算的基礎上，又注重與解析幾何知識的交匯命題. 以導數的幾何意義為背景設置成導數與解析幾何的綜合題為主要考點，重點考查運算及數形結合能力 .利用導數研究函數的單調性和極值一直是熱點，有小題和解答題，小題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，解答題主要考查導數與函數單調性、導數與方程和不等式的綜合應用.利用導數來研究函數的最值及生活優化問題成為高考的熱點，試題大多有難度，多與函數的單調性、極值結合命題為考向，考生學會做綜合題的能力.微積分基本定理是高中數學的新增內容，考查的頻率較低，難度較小，且均以客觀題出現，重在基礎知識、基本方法的考查.
（二）重視一題多解，鼓勵創造性
隨著高中課程改革的不斷深入，新課標的不斷推進，《考試大綱》強化主干知識，從學科整體意義上設計試題，強調數學思想和方法，深化以能力立意，突出考查能力與素質的導向，堅持數學應用，考查應用意識.開放探索，考查探究精神，開拓展現創新意識的空間，適當增加開放型的試題，鼓勵有創造性的解答.筆者結合這一高考要求，選擇了一道以導數方法為工具的函數問題“2010年高考新課標全國卷文科數學試題的21題（Ⅱ）小題”，并以一題多解的形式作出了如下探究，其目的在于引領我們的學生不要拘泥于標準答案，要大膽放手自我嘗試與探究，充分挖掘自己的創造能力，逐步培養自己采集信息、推演信息、驗證和計算信息的能力.
數學知識的傳授、學生能力的培養主要是通過課堂教學來實現的，因此課堂授課的優劣直接影響到教學目標的實施和教學質量的提高。在數學教學過程中存在著大量的抽象性的概念和嚴密的推理。由于我們長期采用傳統的教學手段，影響了教學質量的進一步提高。因此，多媒體的應用，可以優化課堂教學，大幅度地提高教學質量。多媒體在數學教學中的應用，展示了它前所未有的魅力，可創設數學情境，利用圖文并茂的表現方式，生動地描述各種復雜抽象的數學對象關系，并配“色彩鮮艷的動畫演示，形象逼真地模擬各種軌跡的形成過程。解決了學生對抽象數學知識形成發展過程感性認識的不足、不能深入理解數學思想方法等問題，從而起到優化課堂教學的作用，提高了課堂教學質量。下面，筆者談一下如何應用多媒體，優化課堂教學。
一、應用多媒體體，優化開局，為提高教掌質量打好基礎
通常說良好的開端，等于成功的一半。作為課堂教學來說也是如此。只有一開始就緊緊抓住學生，調動積極性，為課堂教學創設良好的情境，才能保證教學目標的實施。那么怎樣運用多媒體來優化開局呢？
（一）應用多媒體設置懸念，激發學生的求知欲。心理學研究表明，“學生的學習興趣是構成學習動機的一個重要方面”。多媒體全面加強了學生的感性認識，使學生感到新奇而有趣，能夠迅速使學生進人學習狀態。比如，在講定積分的概念之前，可制作一個課件．配以輕音樂，借助動畫給出三角形、圓、梯形的圖形及面積公式，進一步出現曲邊梯形的圖形后啟發學生“曲邊梯形的面積怎樣求呢？”從而引入定積分的概念，有效地激發了學生的求知欲。為新課創設奠定良好基礎。
（二）應用多媒體縮短了“復習引入”的時間，使新舊課過渡自然，學習新課在學生最佳時刻呈現。數學課教學的基本程序為“復習引入——新授內容——鞏固新課小結——布置作業”。作為復習引入，一方面起到鞏同前面所學知識的作用，另一方面通過復習可以找出新舊知識的銜接點，起到承上啟下的作用，因此這一步是必不可少的。而復習常常是給出一定數量的問題，通過對學生的提問來實施的。若是復習題不足，難以保證復習的效果；若是多一點往往義超過預定的復習時間，結果新課學習開始于學生精神亢奮期之后，注意力開始分散之時，這直接影響到新課的學習質量。運用多媒體可以增大復習容量，鞏同已學知識，向新課過渡自然天成。
二、應用多媒體，優化教學結構，增大教學窖量，是提高課堂教學質量舶保證
興趣是最好的老師，應用多媒體優化教學結構的目的就是讓學生對學習數學有興趣。而增大教學容量是提高質量的保證。
（一）應用多媒體教學，使數學由乏味到有趣，讓學生變被動聽為主動學。應用多媒體教學，數學課就會富有吸引力，巧妙的課件設計，使教學變得生動有趣、直觀易懂。改變傳統乏味的教學模式，調動學生的學習積極性，可以取得意想不到的效果。比如，在學習函數連續性這一節，課件可以采用漸進的方式給出函連續的圖象和兩類間斷點的圖象，通過演示討論總結規律，教學效果會更好。同時借助課件增大例題容量，鞏固新知，學生興趣會很高，能達到事半功倍的效果。
（二）應用多媒體教學，可以使教學節奏張弛有度，改變學生因節奏平緩造成的思維沉悶狀態。上課之初的復習階段應用投影、錄像是快節奏的，而在新課學習階段，采用板書、投影等多媒體，加之教師有意識的放緩語調，使學生在一種平和的心境中接受新知識。當進入新課學習時，又可借助投影，增多題型，加快教學節奏，不斷創設良好的教學情境，便可牢牢抓住學生的注意力，使他們輕松愉快、興趣昂然地投人到數學學習中去。
（三）應用多媒體教學可以及時反饋教學信息，實現師生互贏。應用多媒體教學能夠使學生的練習情況及出現的問題及時得到反饋和評講，使學生的錯誤認識得以糾正，同時還能使學生新穎的解題思路得到展示推廣，也有利于教師改進教學。
三、應用多媒體優化教學手段，突破重點、難點，掃掃除學習障礙
數學具有高度的抽象性，難以學習是學生公認的。究其主要原因是數與形的分離．抽象思維失去形的依托。我國著名數學家華羅庚曾指出：“數缺形時少直觀，形少數時難人微。”該名言揭示了數與形相依相存不可分割的關系，有些重點、難點一味地利用講述是很難理解的。運用現代化的教學手段——多媒體教學就能達到數形結合、化難為易、掃除學習障礙的目的。例如，導數的幾何意義的理解是難點。運用多媒體制成動畫課件，讓過一定點的割線，在x0枷時繞定點轉動的極限位置就是過定點的切線，定點的導數就是該切線的斜率。這就實現r數形結合、化難為易、直觀易懂。
四、應用多媒體優化計算，提高掌生應用計算機處理數學問題的能力
高中數學中有許多問題需要解決，在應用時，有時需求極限、積分等，只靠人丁計算是難以完成的。為提高學生解決數學問題的能力．運用多媒體、優化計算是十分重要的，可以提高學生對有關數學問題的感性認識，還可以加深其對數學概念及方法的理解。
總之，多媒體是我們進行數學教學的重要輔助工具，能夠幫助我們優化課堂教學，提高教學質量。
【參考文獻】
