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【中圖分類號】O13
引 言
高等數學是所有數學分支的基礎，可以當作整個數學的樹干.但是，大部分學生覺得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數學中函數可積與存在原函數這兩個概念進行探討，希望給學生有益的啟示.
一、函數可積與原函數存在沒有必然的聯系
本節首先給出與函數可積及原函數存在這兩個概念相關的三個定理.
定理1 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上可積；
（Ⅱ）若有界函數y=f（x）在區間[a，b]上僅有有限個間斷點，則y=f（x）在[a，b]
上可積；
（Ⅲ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，則y=f（x）在區間[a，b]上可積.
定理2 若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上原函數存在.
定理3 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上含有第一類間斷點，則y=f（x）在區間[a，b]上
不存在原函數；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上有無窮間斷點，則y=f（x）在[a，b]
上不存在原函數.
二、通過反例揭示函數可積與存在原函數兩者互不蘊含
本節將通過反例揭示函數可積與存在原函數這兩個概念互不蘊含.
1.可積不一定存在原函數
2.存在原函數不一定可積
三、小 結
本文通過比較函數可積與存在原函數這兩個概念，給出兩個經典反例，揭示了二者互不蘊含的關系.希望通過本文的探討，給學生有益的啟示，提升學習高等數學的興趣.
【參考文獻】
[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
一、高等數學函數一致性連續性的基本概念
高等數學中的一致連續性是從函數連續的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個微小變化的界限區間，如果函數定義域以內的任意兩點間的距離永遠不超過這個界限范圍，則這兩點相對應的函數值之差就能夠達到任意小、無限小，這就是所謂的函數一致連續性概念。一直以來，高等數學函數一致連續的概念都是教學過程中的重點，也是難點之一，在多年的高等數學教學實踐過程中，筆者深刻感受到學生在學習和掌握函數一致連續概念時的疑惑和困難。甚至有不少學生會有這樣的疑問：函數連續和一致連續的本質區別究竟體現在哪里？
帶著上述問題，我們對函數一致連續性進行研究和分析。函數的一致連續性是函數的一個重要的特征和性質，它標志著一個連續函數的變化速度有無“突變”現象，并對其連續性進行歸納總結。函數一致連續性，要求函數在區間上的每一點都保持著連續的特點，不允許出現“突變”現象，同時還進一步要求它在區間上所有點鄰近有大體上呈現均勻變化的趨勢。換句話說，函數一致連續性的定義為：對于任給定的正數ε，要求存在一個與自變量x無關的正數δ，使對自變量在定義域區間內的任意2個值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數所對應的函數值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數一致連續性的條件要比函數連續的條件強。在目前采用的高等數學的教材中，只是給出一致連續的基本定義，以及利用該定義證明函數f（x）在某區間上一致連續的數學方法，進而呈現出了函數一致連續的完美邏輯結果。這種教學理念是很好的，但是，從實踐教學效果上看，又很不利于學生對定義的理解，尤其不利于學生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學工作者將函數一致連續性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學生更快更好地充分理解一致連續的概念和意義。高等數學函數連續性的基本定義為：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，對于每一點x∈I，都存在相應δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上連續。該定義說明了函數f（x）在區間I上連續的基本特征。函數一致連續的基本概念是：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續。要特別注意的是，連續概念中δ與一致連續概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數一致連續性概念，現將函數函數不一致連續的概念進行一下描述：存在某個ε0，無論δ 是怎么樣小的正數，在I上總有兩點x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數不一致連續的概念，理解和學習函數不一致連續的相關知識，有利于我們更好地學習和研究函數一致連續性問題。
二、高等數學引入一致性連續性的意義和價值
高等數學教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數的連續性與一直連續性，以及函數列的收斂性與一致收斂性等，都是初學者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數學學習中的一個難點問題。在工程數學中，這些概念非常重要，筆者認為，搞清楚和弄明白函數的一致連續的基本概念，以及掌握判斷函數是否具有一致連續特性的基本方法，無疑都將是理工科學生學好高等數學函數一致連續性理論知識的核心環節，也是日后成熟運用該數學方法的基礎和前提。通過學習和比較，我們能夠得出一個很明顯的結論：一致連續要比連續條件強。高等數學函數一致連續是一個很重要的概念，在微積分學以及其他工程學科中常常會用到一致連續的知識，而且函數列的一致連續性和一致收斂又有著密切的相互關系。實際上，我們在進行函數列的收斂問題研究時，常常要用到函數列與函數之間的收斂、一致連續性、一致收斂等概念及其關系。函數一致連續的概念是學生學習高等數學的一個難點問題，證明某一個函數是否具有一致連續性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學感到無從下手。為了解決這一難點，達到化抽象為簡單的教學目的，筆者建議給出一致連續性的幾種常見等價形式，能夠很好地幫助學習高等數學的同學更易于理解和掌握函數一致連續性這一知識要點。高等數學中的函數一致連續性、函數列一致有界性、函數列一致收斂性等“一致性”概念是學習上的難點，也是教學大綱中的重點。因此，牢固掌握這些概念及與之有關的理論知識，對于培養學生良好的數學素養和創新能力都有著重要的意義。
函數一致連續的幾何意義非常非常重要。數學分析抽象而且復雜難懂，這門學科本身就有著極強的邏輯思維和嚴密特征，主要體現在它能夠采用最簡明的數學語言來準確表述其他語言無法量化的復雜多變的事物發展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態發展過程。其幾何意義將在高等數學課程入門中起到一個有利引導作用，清晰明朗地向學生展示高等數學中最基本的思想方法和思維方式，幫助學生理解抽象概念，提高學生培養自身的創新思維能力。另外，探討函數一致連續和一致收斂的關系，同時在有界區間上給出一致連續和一致收斂的等價關系，有利于學生在今后研究連續、收斂問題中擁有更多的參考依據。
三、解決高等數學函數一致性連續性問題的對策
1.一元函數在有限區間上的一致連續性
由于用函數一致連續的定義判定函數 是否一致連續，往往比較困難。于是，產生了一些以G.康托定理為基礎的較簡單的判別法。
定理1 若函數 在 上連續，則 在 上一致連續。
這個定理的證明方法很多，在華東師大版數學分析上冊中，運用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區間套定理來證明。
分析：由函數一致連續的實質知，要證 在 上一致連續，即是要證對 ，可以分區間 成有限多個小區間，使得 在每一小區間上任意兩點的函數值之差都小于 。
證明：若上述事實不成立，則至少存在一個 ，使得區間 不能按上述要求分成有限多個小區間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續下去，就得到一個閉區間套 ，n=1，2，…，由閉區間套定理知，存在唯一一點c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區間，所以 ，從而 在點 連續，于是 ，當時，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點 ，都有 。因此，對于 上的任意兩點 ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個小區間，這和區間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區間不成立。阻礙由區間連續性轉變為區間一致連續性有兩種情況：（1）對于有限開區間，這時端點可能成為破壞一致連續性的點；（2）對于無限區間，這時函數在無窮遠處也可能破壞一致連續性。
定理2函數 在 內一致連續在 連續，且 與 都存在。
證明：若 在 內一致連續，則對 ，當 時，有
，（2-16）
于是當 時，有
。（2-17）
根據柯西收斂準則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續， 與 都存在。
若 在 連續，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區間 上連續，由Contor定理， 在 上一致連續，從而 在 內一致連續。
根據定理2容易得以下推論：
推論1 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。
推論2 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。
當 是無限區間時，條件是充分不必要的。
2.一元函數在無限區間上的一致連續性
定理3 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續。
令 ，由柯西收斂準則有對 使對 ，有
。 （2-19）
現將 分為兩個重疊區間 和 ，因為 在 上一致連續，從而對上述 ，使 ，且 時，有
。 （2-20）
對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數 在 內一致連續。
（2）同理可證函數 在 內一致連續。
由（1）、（2）可得 在 內一致連續。
若將 分為 和 ，則當 與 分別在兩個區間時，即使有 ，卻不能馬上得出 的結論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。
推論4 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。
推論5 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。
推論6 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。
參考文獻：
[1]王大榮，艾素梅；分段函數在分段點處的求導方法芻議[J]；滄州師范?？茖W校學報；2005年03期
【摘 要】一直以來，高等數學課程學習困難、教學效果不顯著，給專業課程的學習帶來一定障礙。從教與學兩個不同的角度分析了高等數學學習過程中遇到的問題后，給出了概念教學的對策。
關鍵詞 高等數學；數學概念；教學
數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式，正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。數學概念教學是課堂教學的一個重要組成部分，如何教好概念課，讓學生深刻理解并準確掌握數學概念，是學生學好數學基礎知識，提高學習成績的前提，也是培養學生能力的關鍵。
1 高等數學概念的特點
高等數學是變量的數學，它研究變量的運動過程、無限過程；初等數學是常量的數學，它研究靜態問題、均勻問題，高等數學從觀點到方法都和初等數學有著本質的差異。高等數學的思想方法中，蘊涵著豐富的辨證唯物主義的思想，表現出相互依存與相互轉換的對立統一關系，如常量與變量的關系，有限與無限的關系，近似與精確的關系等。剛從中學跨入大學校門的新生，他們還習慣于用靜態、有限的方式來思考問題，所以教師在講授高等數學的概念時，要求學生在思維模式上有本質的轉變，從常量轉向變量，從有限轉向無限，從而把握高等數學的基本思想和方法。
2 學生學習高等數學概念的現狀
概念是高等數學的基礎，基礎夯不堅實會嚴重影響高等數學的學習。在實際的教學過程中我們發現，每個教學班大概會有50%的學生雖然花大量的時間學習高等數學，上課認真做筆記，恨不得把老師黑板上寫的每個字都記下來，下課也會做大量的習題，但到最后還是有30%左右的學生不能通過這門課程。無論是課堂提問還是與學生課后交流，我們發現一個普遍現象：60%左右的學生對高等數學中的概念不重視。我們做過一個小范圍的調查，調查400名學生學完《極限與連續》后對本章基本概念的掌握情況，此次調查結果大致是：完整說出極限和連續概念的人數為15%，大概了解極限和連續概念的人數為25%，對極限與連續有點印象的人數為20%，幾乎不知道極限與連續概念的人數為40%。在后續章節的教學中，我們又進行了類似的調查，最終與期末考試的成績進行對比，結論非常明顯：基本概念掌握好的同學無論是基礎題還是能力題都做的比較好；對高數概念一知半解、只會套公式的同學的基礎題還行，但是能力題的得分幾乎為零。高等數學的概念通常會以公式的形式出現，剛從中學跨入大學校門的新生，受中學教育的影響，把數學的學習簡單歸納為背定理和公式，套定理和公式。高等數學的學習不僅僅是會運用定理和公式，更應會運用所學知識靈活處理實際問題，培養學生分析問題，解決問題的能力，這些能力需要在學習基本定義、定理的過程中慢慢積累，因此在高等數學的學習中，概念的教與學是非常重要的環節。
3 高等數學概念教學的重要性
高職教育強調學生對職業技術的掌握,強調學生的應用能力和實踐動手能力，為此課時都主要放在專業課的教學和實習實訓上，在高職的課程設計中基礎理論課教學時數一般都不多，高數老師在有限的課時內，要系統完成一元微分學的教學內容，勢必每堂課包含的教學內容會非常多，通常是高中課堂的三、四倍，因此在課堂上教師不可能像高中教學那樣通過反復講解和訓練的方式達到既定教學目標，只能靠講授基本的概念和定理，在理解概念的基礎上加深知識點的理解，這也培養了學生的自學能力。我們對高等數學在后續專業課中運用的廣度和深度做過調查，發現專業課程對高等數學的需求絕大多數是基本概念和定理的運用，因此更要突出概念教學。一般來說，理工類專業的后續課程都需要用到導數和微分，而復合函數的導數是難點，絕大多數學生都學得不扎實，簡單常見的復合函數會求導，但碰到復雜一點、特別是分段函數的求導時，就會束手無策，這也使得專業課老師對高數老師頗多微詞。在學生的問卷調查中發現：60%的學生不知道復合函數、基本初等函數和導數的定義。在講解導數時，我們在不同的教學班做了對比實驗，在甲教學班講復合求導法則時，先詳細復習基本初等函數的定義、復合函數的分解和導數的定義，并且加強導數定義類題目的訓練，用定義推導了幾個基本函數的求導法則，對復合函數鏈式法則做了簡單的說明，并要求學生記憶基本概念和定理；在乙教學班直接講解復合函數的求導法則，沒有對基本初等函數的概念，復合函數的分解進行復習，把教學重點放在求導公式的記憶和應用上，最后用同難度和數量的題目進行測試，發現強調概念教學的甲班對導數的掌握情況，無論從基礎題還是能力題都要比乙班好30%左右。雖然不同的教學班會有一些不確定的隨機因素影響結果，但一般來說差異不會這么大，所以概念教學是非常重要的。
積分在經管類專業課程中使用較多，學生一般只會機械地套用基本的積分公式，解決簡單的積分問題，但由于積分公式比較多，學生感覺記憶負擔較重，碰到類型相近的問題經?；煜?，這些問題產生的原因是學生對原函數的概念的理解不透徹，甚至有些學生連原函數的概念都說不出，更談不上靈活運用積分了。如果學生能夠吃透原函數的概念，書本上那些基本積分表根本用不著記憶，它只不過是求導公式的逆運算，記住了求導公式，弄清楚了不定積分的概念，就能很容易記住積分表了。不過絕大多數學生對原函數的概念只是停留在字面的理解，搞不清它的實質，也就搞不清積分與導數之間的關系，感覺不定積分學起來比較費勁，從而給定積分的學習帶來很大的困難。
總之，無論是教還是學，為了讓高等數學這門工具性學科更好地服務于專業課，在高職教育“必須，夠用”的理念下，概念教學是解決諸多矛盾的行之有效的方法之一。
4 高等數學概念教學的注意事項
高等數學概念是一系列探索活動的產物，我們應該讓學生親歷知識發現的過程，在暴露數學概念生成的思維方式上多下功夫，并注意揭示出概念的本質，完成由較為直觀的表述向嚴格的形式化表述的轉化，把生動活潑的理性思辨通過數學概念的生成傳導給學生，實施能動的心理和智能的導引。高等數學的概念通常比較抽象和嚴謹，因此概念課容易給人枯燥乏味的感覺，學生會比較排斥它，教師在講課時，要講究一些技巧，把嚴謹的概念用通俗易懂的語言描述（如原函數概念描述成導數的逆運算，用加和減、乘與除的關系類比兩者的關系），可以用形象直觀的圖象語言來描述（如極限概念），也可以用專業課程中的專有名詞來描述概念，讓學生提前感受高數的作用（如經管專業中的邊際就是導數）。另一方面，學生上概念課有一種錯覺：為什么我把概念背得滾瓜爛熟，但不會解題呢？事實上，學生會背概念不一定表明他已獲得概念，真正意義上的獲得概念，就是運用概念做出判斷和推理，能夠根據概念解決數學問題，因此教師在講授概念時不能就事論事，死摳書本，概念的引入要合乎邏輯, 更要合乎情理；概念之間要講究邏輯次序， 更要注意認知次序。針對相同的數學概念， 不同的時代、不同的時間、不同的教學對象在理解的深度、側重點以及要求上都不相同，這要根據自己的理解選取不同的詮釋方法，體現各自的風格。
參考文獻
［1］毛京中.高等數學概念教學的一些思考[J].數學教育學報,2003,5,12(2).
［2］王華麗.高等數學中極限概念教學的思考[J].科技創新導報,2012(1).
［3］王樹禾.數學思想史[M].北京:國防工業出版社,2003.
高等數學的很多概念是中學數學的延續，命題者往往以高等數學中的基本概念為切入點，命制一些高中數學教材中涉及到而未給出具體定義的，或是直接給出高等數學中的新概念的試題。學生需閱讀題目中所包含的信息，并將高等數學的信息與初等數學知識靈活地結合來解決問題。
例1 （2004年復旦大學）若存在M，使任意 為函數 的定義域），都有 ，則稱函數 有界，問函數 在 上是否有界。
解析：否。取 ，則 當 趨向于正無窮時，趨向于正無窮。
評析：本題是以高等數學中的有界函數概念作為背景，來判斷函數是否為有界函數的一類試題。從所給的信息知道，判斷f(x)是D上的有界函數，是否存在M（M＞0且對任意x∈D），求|f(x)|的值域，要求學生有較強的知識轉化能力。此題是通過取特殊值，確定函數 在 上可以趨向于無窮大，從而確定其不是有界的。
例2 (2010年復旦大學)設集合 是實數集 的子集，如果點 滿足：對任意 ，都存在 ，使得 ，則稱 為集合 的聚點。用 表示整數集，則在下列集合： (1) ； (2)；(3) ；(4)整數集 中，以0為聚點的集合有()
A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)
解析：“聚點”這個概念根據定義，應理解為以任意無窮小為半徑，以 為圓心的圓內都至少有 的一個元素（不包括 ）。對集合（1） ，若取 ，則不存在 滿足 。顯然（2）、（3）是以0為聚點。對（4），若令 （不是唯一的取法，也可取 ，只要 均可），則也不存在 使得 ，綜上，應選A。
評析：直接定義高等數學中“聚點”的概念，解此類新定義型題時應在仔細閱讀分析材料的同時，要認真領會定義的實質，尤其是定義中隱含的或特殊情形，結合所學的數學知識和方法，通過對定義的仔細推敲和概念的全面認識使問題獲解。
二、性質型
以高等數學有關性質為背景的自主招生試題經常出現，例如函數圖像的凹凸性、拉格
朗日中值定理以及極限思想等。
例3 （2010年華中師范大學）已知當 時，函數 的圖像如圖1所示。
（1） 設 ，試用 的圖像說明
當 時，不等式 ①成立。
（2） 利用（1）中不等式證明：若 ，則
對于任意的正數 ，不等式 ②成立。
（3）當 ，且 時，求 的最小值。
解析：對于（1）要求利用圖像解釋不等式①成立，這就需要將代數語言轉化成幾何語言。在 的圖像中解析 的幾何意義，再利用這些幾何意義說明不等式①成立，從而有如下解法：
設 ，由圖2可知，當 時，有
即
對于（2）要求用不等式①證明不等式②，此時要求
學生明確不等式①成立的條件，并將不等式②與不等式①
作比較分析，選擇適當的代數變形方法。由于不等式①成立的條件是 ，將②式兩邊 次冪，則不等式②等價于 ③
由于 ，由①易得③。
對于（3），可由不等式①求解，
將 做適當的代數變形即有：
所以 等號當且僅當 時成立。
還可由不等式②求解：
因為 故有 ，從而 等號當且僅當 時成立。
評析：所謂“高等背景，初等解法”，沒有現成解法或套路可模仿，要靈活運用所學知識。
三、結論型
在高等數學中很多結論與中學數學比較靠近，這些既是中學數學的重要知識，也是高等數學中的基礎知識，其中某些結論只要稍加敘述和改造，就可以以中學數學的形式出現，這樣的試題既可以考察學生能力，又有利于高等數學與中學數學的緊密結合。
例4(2010年南開大學)求證：
解析：令
單調遞增。
又 ，
則 單調遞增。
分段函數是指在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子表示的一個函數。分段函數在每段內對應的解析式是初等函數,在分段點處的特性往往會發生很大的異常,這也是用作反例的重要價值。本文主要將一元分段函數作為反例,在高等數學中學生不易理解或者易混淆的幾個重要概念中進行應用。
1 初等函數與分段函數
由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合運算而形成的并可用一個式子表示的函數稱為初等函數。由于分段函數是由幾個式子表示的函數,有些老師講解初等函數的概念時,只強調初等函數用一個式子表示,輕易地得出分段函數非初等函數的結論。事實上并非所有的分段函數都不是初等函數。
例如,函數y=3x+2,x?叟0x+2,x<0為分段函數,但是該函數可以用y=2x+■+2一個式子表示,顯示該分段函數是初等函數。其實分段函數在滿足一定條件下是初等函數,可參考文獻[2]。通過此分段函數例子可以加深學生對分段函數和初等函數概念的理解,并且擴大學生的思維。
2 有界函數與函數值
若函數f(x)在區間I內有界,則稱f(x)在區間I內為有界函數。初學有界函數概念的學生易與有限的函數值混淆。事實上函數有界是函數在研究區間整體的一個性質,函數值是某點按照對應法則計算的結果,這兩個概念是整體和局部上的區別。
例如,分段函數f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0點的函數值為有限值■,但是對任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,從而知函數f(x)為無界函數。
3 函數極限與函數值
如果在xa的過程中,對應的函數值f(x)無限地接近于常數A,則稱數A是函數f(x)在點a的極限。初學函數極限的學生易想當然的認為函數的極限就是函數在點a處的函數值。事實上函數在點a處極限值的存在與該點處函數值無關。
例如,已知函數f(x)=■,x≠25,x=2,極限■f(x)=
■■=■(x+2)=4,而在x=2處的函數值f(x)=5≠4。
4 無窮大與無界函數
若對于任意給定的不論多么大的正數M,總存在δ>0,當0<x-a<δ時,有f(x)>M成立,則稱函數f(x)當xa時為無窮大。初學者常錯誤的將無窮大等價為無界函數。事實上無窮大是在研究范圍內為無界函數,但反之不一定成立。無界是指自變量在定義域內,函數值沒有界限,但是可能并沒有一個趨勢。無窮大是在自變量的某個變化過程中有確定的趨勢。
例如,已知數列函數f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k為整數。顯然它是一個無界數列函數,但當n+∞時,它不是無窮大,因為奇數子列是收斂的,極限值為0。
5 原函數和可積
Abstract: this article through the course of higher vocational higher mathematics nature, design idea, objective, teaching content, teaching methods and evaluation methods, compiling teaching materials, and other aspects of the design, the characteristics of higher vocational education outstanding, design science, and the actual curriculum standard
Keywords: high vocational colleges, the curriculum standard, the reform
中圖分類號：S611文獻標識碼：A 文章編號：
一、前言
1.課程性質
高等數學課程是高職高專院校各專業的一門重要的基礎課程，是理工、財金類各專業的必修課之一。它對培養、提高學生的思維素質、創新能力、科學精神、治學態度以及用數學解決實際問題的能力都有著非常重要的作用?！陡叩葦祵W》課程既有鮮明理論性、知識性，還具有極強的現實性與實踐性，是推動專業人才培養模式的改革和創新的一門重要的必修課程。
2．課程設計思路
依據課程的基本理念，根據專業群的需要，在內容的選擇上，要從提高素質和加強應用的角度選擇教材的內容，大膽取舍，以滿足專業崗位的需求。針對專業群的學生特點及專業課程數學的需求，增加專業數學的應用內容，舍去不必要繁瑣證明，重新進行組合，構成專業群的數學課程體系。實施模塊化的、彈性的、互動的、多層次的教學，以滿足職業崗位群的需求。打破傳統的數學教學內容的限制、打破現有教材系統的約束，將留下的基礎數學內容和增加的專業數學的應用內容，進行分析、改造、篩選、拆分和整合，然后理順，形成一套嶄新的教學內容。這套內容要弱化形式化的推理論證，強化知識的應用，體現數學的應用價值
二、課程目標
通過對高等數學課程的學習，使學生能夠獲得專業課程需要使用，適應職業崗位及終身學習所必需的重要的數學知識，掌握基本的數學思想方法和必要的應用技能；使學生學會用數學思維方式去觀察、分析工程實際，從而進一步增進對數學的理解和興趣；使學生具有一定的創新精神和提出問題分析問題解決問題的能力，從而促進知識、素質全面充分的發展。
三、教學內容和具體標準
根據專業課程設置教學目標和涵蓋的工作任務要求，確定課程內容和要求，說明學生應獲得的任務、知識和技能要求。
學習內容 工作任務 知識要求 技能要求 專業相關案例 學時安排
1.
函數、
坐標系 1.函數概念的建立
2.建立實際問題中的函數關系，建立簡單的數學模型。
3. 作簡單的函數圖像。
4．認識空間常見圖形。 1. 理解函數概念及記號、表示法.
2.了解反函數和復合函數的概念。
3.掌握基本初等函數的性質及其圖像。
4.能列出簡單的實際問題中的函數關系。
5.理解一般平面方程及其各種特殊情形。
6.了解球面和母線平行于坐標軸的柱面的方程與旋轉曲面的方程和圖形，了解空間曲線的參數方程，一般方程。 1. 會求函數的定義域并能用區間表示。
2.會求函數值及函數表達式。
3.能作簡單的函數圖像。
4.會求空間兩點間的距離。
5．會求簡單的平面方程。
2.
極限 1.由實際問題引出極限概念.
2.極限的運算。
3.極限應用 1.知道函數極限及左、右極限的概念，并能在學習過程中逐步加深對極限思想的理解。
2. 掌握極限的四則運算法則。
3.會用兩個重要極限求函數的極限。
4.了解無窮小與無窮大的概念，無窮小的性質。 1.極限的運算。
2.極限的應用。
3.無窮大、無窮小的判定。 10
3.
連續 1.函數連續的有關概念。
2.間斷的概念及其求法。 理解函數在一點連續的概念，知道閉區間上連續函數的性質 1.會判定函數在一點的連續性
2.會求函數的間斷點并判定其類型。 8
4
4.
微分學 1.研究導數、偏導數的有關問題 1、理解導數的概念，了解導數的幾何意義及函數的可導性與連續性的關系，并能用導數描述一些簡單的實際量。
2、熟練掌握導數運算法則以及導數的基本公式，會求函數的導數和偏導數。了解高階導數的概念，能熟練地求初等函數的一階，二階導數。
3、了解隱函數和參數式所確定的函數導數的求法。 1.導數概念及幾何意義的應用。
2.會求初等函數的導數；
4.多元復合函數一階偏導數的求法。 12
2.研究微分及全微分的有關問題 1.理解函數微分和全微分的概念，知道全微分存在的充分條件。
2.掌握微分在近似計算中的應用。 1.會求函數的微分和全微分。
2.會利用微分進行近似計算。 4
3.導數的應用 1.了解羅爾定理和拉格朗日定理。
2.理解函數的極值概念。掌握求函數的極值、判斷函數的增減性與曲線的凹、凸性、求函數圖形的拐點等方法。會求水平與鉛直漸近線。能描繪簡單函數圖形。會解較簡單的最大值、最小值的應用問題。
3.會用洛必達法則求極限。 1.利用羅爾定理研究方程的根。
2.利用拉格朗日定理證明等式和不等式。
3.利用洛必達法則求未定式的極限。
4.利用導數求函數單調區間、極值、曲線的凹凸區間和拐點。
5.利用導數求一元、二元函數的極值。
6.最值的實際應用。 8
5.
積分學 1. 不定積分 1.理解不定積分的有關概念，了解其性質。
2．熟悉不定積分的基本公式和運算法則。熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。 積分運算 12
2. 定積分及其應用 1.理解定積分的概念與性質。
2.掌握定積分的計算。
3.掌握牛頓—萊布尼茲公式。
4.掌握定積分的換元積分法和分部積分法.
5.會用定積分表達一些幾何量及物理量（如面積、體積、弧長、功等）的方法。掌握利用定積分的微元法求平面圖形的面積 1.積分運算
2. 會計算定積分
3.利用定積分求幾何量和物理量。 10
6.常微分方程 1.解微分方程
2. 利用常微分方程解決實際問題 1.了解微分方程、階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2.熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3.知道二階線性微分方程解的結構。
4.熟練掌握二階常系數線性齊次微分方程的解法。
1.解微分方程
2.利用微分方程解決實際問題。 8
7.
矩陣及其運算 1. 行列式2. 矩陣 1 矩陣的概念與運算
2 行列式及計算
3 矩陣的初等變換及矩陣的秩
4 逆矩陣
12
合計 90
四、教學方法
采用啟發式講授、引導發現法、討論法、目的教學、任務驅動、講練結合法和實例教學法等。教師根據不同的教學內容選擇不同的教學方法。總之：改變以教師為中心，強調以學生為主體，給學生以更多的活動空間，讓他們積極地參與教學過程，提高學生的學習主動性。在課堂教學中注意精講精練，適當增加課堂練習時間，以減少學生課外負擔。在教師講課中要貫徹設疑（提出矛盾）、析疑（分析矛盾）、解疑（解決矛盾）三個環節的啟發教學，引導學生對數學現象有好奇心，并能進行獨立思考，提出解決問題的方法和探索問題的思路。教學中應盡量使用現代教學技術和現代信息技術等。提高教學質量和教學效果。
五、評價方式
教學評價分為過程評價（占20-40%）和結業評價（占60-80%）兩部分。
過程評價可以采取課堂評價、作業評價、階段測驗評價、解決實際問題的創新能力評價相結合的方式進行。
結業評價是學期終結業考試的形式來評價學生。
六、教材編寫建議
根據《標準》的要求，教材的內容要以應用為目的，以必需、夠用為度和少而精的原則，在保證科學性的基礎上，注意講清概念，減少數理論證，注重學生基本運算能力和分析問題、解決問題的能力的培養，重視理論聯系實際，內容通俗易懂，既便于教師教，又便于學生學，努力體現高等職業技術教育特色。在內容的組織上，在保證相對系統性的前提下，突出以問題解決為核心來組織編排內容，并及時配備與教材內容吻合，靈活多樣難度量適中的習題。在內容的呈現上要形式多樣化，力爭將抽象的內容形象化，這樣就要求文字描述簡潔明快流暢、多配圖形，版面整潔新穎，從而編寫出具有自身特色，為師生所喜愛的教材。
參考文獻：
1．侯風波主編的《高等數學》及《高等數學訓練教程》（教育部高職高專規劃教材），北京，高等教育出版社。
2．同濟大學、天津大學、浙江大學、重慶大學編寫的《高等數學》（教育部高職高專規劃教材），北京，高等教育出版社。
《復變函數與積分變換》課程是大學本科理工科類專業的一門基礎課。復變函數論主要是在研究流體力學、電力學、空氣動力學、熱力學以及理論物理學中發展起來的，為解決這些學科的一些實際問題起了相當大的作用。復變函數與積分變換理論和數學的其他分支也有密切聯系。復變函數是高等數學的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應用；積分變換中的傅立葉變換在微分方程、積分方程、概率與數理統計論、泛函分析學以及數論等學科中都是重要的工具。即使是最簡單的函數，比如多項式函數、對數函數、指數函數、三角函數等，也只有在復變函數中才能體現其本質。另外，作為一種特別有用的工具，復變函數當中的留數理論可以用來解決很多高等數學中難以解決的問題。因此，復變函數與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學數學的一個重要組成部分。
雖然《復變函數與積分變換》這門課程有著重要的作用，不過大部分高校對此課程設置的課時都比較少，基本上都是三十二學時或者四十八學時，相對于《高等數學》來說，這些課時是非常有限的。在有限的時間內，如何能讓學生充分利用每周的少量課時，理解和掌握這門課程的精髓，并為以后的各門專業課打下堅實的基礎，這一點對于每一位授課老師以及學生來說都是極其重要的。以下根據我任教十幾年來對該門課程的理解，簡單談談我對復變函數與積分變換教學的幾點看法。
1 總結同一概念和性質在復變函數和高等數學中的相似與不同，加強理解和記憶
《復變函數與積分變換》這門課程的內容主要有兩部分，前半部分是復變函數，后半部分是積分變換。其中復變函數以理論為主，積分變換以應用為主。復變函數是以高等數學為基礎，同時也是高等數學中實數域向復數域的擴展，因此復變函數中的大部分概念都是和高等數學的概念類似，性質也基本上都是相同的。其中第一章復變函數的概念中，區域的概念，復變函數的概念，復變函數的極限的概念，復變函數的連續性以及閉區間上連續函數的性質等和實數域中相似；第三章復變函數的積分中，積分的概念和實數域的定積分，重積分的概念一致，都是通過對所求變量按照“分割，近似替代，求和，取極限”這四個過程來定義的；第四章級數中，復變函數的冪級數，泰勒級數也與高等數學中函數的級數，泰勒級數的概念一致。在講授這些內容的時候，任課老師可以先和同學們一起簡單的回憶《高等數學》中的概念和性質，與復變函數結論有區別的地方可以重點說明，接著講解新內容，相似點可以直接類比，對于不同的地方需要重點強調，而且可以啟發學生去思考不同之處的根源。復變函數中的正弦函數和余弦函數是無界函數，指數函數是周期函數，對數函數是多值函數等，這些內容如果任課教師在講臺上只是一味的照本宣科，學生會覺得這是內容的重復，聽起課來肯定興趣不高；如果老師能充分調動學生的積極性，讓他們自己去帶著問題思考，帶著問題聽課，讓他們自己找到相似點和區別，不僅師生之間可以有良好的互動性，學生也會對自己總結的這些知識加深印象。
2 把握側重點，強調課程的特色
《復變函數與積分變換》這門課的課時一般不多，但是它包含的內容卻很多，因此要想在比較少的時間內將所有的內容都詳細的介紹，那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應該掌握該課程的側重點，合理的安排好每個章節的授課時間。在第一章復變函數中，復數的輻角和復數的模，復數的三角表示和幾何表示以及復數的運算是以后各章內容的基礎，這部分內容只有講透，學生才能在以后的學習中有個扎實的基礎。復數域中的無窮遠點是唯一的一個點，很多課時少的學校將這部分內容作為選講內容，但我個人認為這是個基礎知識，無窮遠點可以在很多時候簡化計算量，是個很有用的工具，而且在積分變換的內容中也會涉及到這方面的知識，這個知識點需要強調一下；第二章解析函數中，解析函數以及解析函數的充要條件是重點，也是研究復變函數在孤立奇點處留數的前提；第三章復變函數的積分，這部分內容可以簡單介紹原理，為以后介紹洛朗級數和留數做前提；至于用柯西積分公式，柯西古薩定理和高階導數公式去計算封閉曲線的積分可以簡單讓學生理解；第四章級數，洛朗級數是重點，任課老師要讓學生理解洛朗級數和泰勒級數的聯系和區別，并學會如何將同一復變函數在不同點，不同的圓環域內，展開成洛朗級數；第五章留數是個新的概念，也是復變函數的核心，對學生來說是個全新的知識，任課老師在講授這部分內容時可以適當放慢速度，利用解析函數和洛朗級數的相關理論讓學生理解核心概念-留數的定義，掌握利用留數和洛朗級數去解決積分問題的方法。留數是復變函數理論當中一個重要知識點，留數理論也可以用來解決一些高等數學中很難求解的積分問題。這樣學生可以感受到復變函數除了是實數域中理論的拓展，還可以反過來解決實數域中的很多難題。
3 積分變換是一個工具，側重于應用
積分變換中主要有兩個積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個變換是相互聯系又有區別。傅立葉變換是由周期函數的傅立葉級數推廣得到的，拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎上優化得來的，這一部分的概念可以簡單講解。積分變換部分關鍵是要讓學生學會利用這兩個工具解決一些實際問題，比如在現代信號處理的應用等等；也可以增加一些時尚的和生活實際的應用問題，提高學生的學習興趣。當然這也對授課老師提出了較高的要求，要求教師能夠對積分變換的可能的應用領域以及在其他實際中的用途等多方面的知識都有了解，以方便在教學中隨時可以調動學生的學習積極性。
4 結合多媒體，縮短板書時間；縮短上課的周期，提高效率
復變函數中有部分概念需要很強的空間想象能力，例如基本初等函數的實部與虛部、復數的模與輻角、復球面的概念，函數在孤立奇點處的留數等；積分變換部分，工程上經常出現的單位脈沖函數，這些對于剛剛接觸到這門課程的學生來說，都是是非常抽象的。如果可以通過多媒體軟件展示這些概念，就會直觀的多，學生也容易理解。對工科的大部分學生來說，復變函數與積分變換只是一個解決問題的工具，很多結論沒有必要要求學生去掌握具體原因，只需要學會并熟練運用結論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理，復合閉路定理，柯西積分公式，高階導數公式等這些結論，學生只要能會運用就可以了。但是這幾個結論相對來說都很長，如果授課老師板書到黑板上需要浪費很多時間，如果只是照著課本念一下，學生又沒有什么印象。利用電子ppt，在每次需要用的時候可以直接拿出來，而且可以針對每個結論，對應的舉例說明，那樣就可以節省不少的時間。
最后對于小學時的課程，希望能夠縮短上課的周期，變成前半學期或者后半學期教學。這一點部分高校已經開始實行，一周一次的課程教學效果遠遠有一周兩三次的效果好。
當然授課老師在課堂上為了增加學生的學習興趣，可以適當滲透一些現代的數學思想，為學生進一步學習現代數學知識提供一些接口；聯系其他相關課程的知識和工程實際應用，以加強學生的綜合應用能力。比如利用留數計算積分是復變函數理論中一個重要知識點，課堂上除了詳細介紹這些之外也可以介紹一下留數計算的物理應用，如在數字濾波器性能分析和形狀設計中的應用等，這對于部分同學來說也是激起他們學習興趣的一些理由。
【參考文獻】
中圖分類號：O13
1， 反例在高等數學教學中的作用
高等數學的反例是指符合某一個命題的條件，但又和此命題結論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴密的證明，錯誤的命題則靠反例否定。
1.1 有助于基本概念的深化理解
關于二元函數的極限的概念，現在的描述性定義盡管比過去的“ ”定義簡單，但 是表示點 以任何方式接近于點 ，所以在討論極限是否存在時，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計算的極限值不同，既可說明極限不存在。
例 討論二元函數
是否存在極限？
解 當點 沿直線 趨于點 時，有
，當點 沿直線 趨于點 時，有 ?？梢娧夭煌窂胶瘮第呌诓煌担摵瘮档臉O限不存在。又
同理可得 ，二元函數在一點不連續，但其偏導數卻存在。但對于一元函數是可導必連續，連續未必可導。
1.2 有助于基本定理的理解掌握
在高等數學中，學生對定理條件和結論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學習難點。而反例使學生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數學的基本定理。拉格朗日定理是微積分的基本定理，關于它的學習，一般先介紹定理（若函數 滿足條件： 在 上連續； 在 上可導，則在 內至少薦在一點 ，使得
成立），再結合圖形給予證明。對給定的具體函數，要求能夠判斷其是否在所給區間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的 。
1.3 有助于錯誤命題的有效糾正
在一元函數中有兩個重要結論。一是可導必連續，連續未必可導；二是若f （x）在某某區間（a， b）內只有一個駐點 ，而且從實際問題本身又能夠知道f （x）在該區間內必定有最大值或最小值.則 就是所要求的最大值或者最小值。按照常規的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數。
2 在高等數學教學中反例的應用
在高等數學教學中加強反例思想的滲透，能夠強化學生對一些基本概念和定理的學習和理解，并能夠激發學生學習數學的興趣，進一步提高教學效果。
2.1 恰當構造反例，加深對概念的理解
理解概念是學生學好高等數學的基礎，也是其能力培養的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現的模糊認識，嚴格區分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質。在高等數學的極限概念教學中，恰當地構造反例，會得到事半功倍的效果。在極限概念的學習中，學生認為：①有界函數的極限一定存在；
②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述兩種想法都是錯誤的.對于①構造反例
因為當 時， 不能無限接近于一個確定的常數 ，所以，極限 不存在，對于②構造反例 ，
2.2正確應用反例，加深對定理的理解
定理教學中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴密的證明才能夠肯定一個命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個命題的正確性。
在高等數學的定理教學中，正確地應用反例，能夠全面地理解定理的條件和結論，更好地應用定理解決問題。關于羅爾定理（若函數 滿足條件： 在 上連續； 在 上可導；. 。則在（（a，b）內至少存在一點 ，使得 成立）的教學，因為它只是拉格朗日的特例，一般是結合圖形給予說明，不做重點講解。但能夠應用反例加深對定理的理解，說明羅爾定理的三個條件是使 成立的充分條件，而不是必要條件。
2.3 有效利用反例，糾正習題中的錯誤
學習高等數學需要解題，在解題中要鼓勵學生從多方面進行思考，多角度進行探索，挖掘新思路：鼓勵學生去聯想發揮，改變條件，對習題進行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時間內，較直觀地反映出錯誤所在，而且，由此往往能產生正確的途徑。
“反例”揭示了數學上這種“失之毫厘，差之千里”的特點，達到了教學中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。所以，在高等數學教學中，廣大教師應重視和恰當地應用反例。
參考文獻
究其原因有以下幾點；一是學生抽象概括能力欠缺。從客觀世界的現實中抽象概括出數學概念，對接受過高中教育的人而言，應該初步具備了這種能力。但目前高職學生這方面能力普遍較差。二是學生對極限思想和方法的不適應。由于高等數學是建構在極限理論的基礎上、以極限為基本工具研究函數的一門數學學科，因此，研究問題的思維方式總體上由“靜態”變成了“動態”。而函數的連續性是運用極限理論定義的第一個概念，學生對于運用極限思想刻畫函數的這種動態特性，需要一個適應過程。三是教材的簡化?，F在選用的高職高專《高等數學》規劃教材，在“必需、夠用”原則的指導下，降低了理論難度、簡化了知識內容。多數教材的“函數連續性”一節直接給出函數在點連續的定義，缺少必要的例證加以輔助。學生很難通過閱讀教材理解函數連續的概念。針對上述原因，教師在教學時應著重抓住以下幾點，幫助學生建立起函數連續性的概念。
函數連續性的本質特征
要理解函數連續的概念，首先要抓住連續的本質特征。自然界中植物的生長、河水的流動、溫度的變化等等現象，都是連續變化著的，把這種現象進行抽象，反映在函數關系上就是函數的連續性。如果只是這樣概括，學生對連續本質特征的把握是不到位的。此時可再從以下現象分析：兩個人幾天不見，再次見面時并沒有感覺到彼此的變化，難道這幾天倆人真是都沒有變化嗎？顯然不是。人從出生到衰亡，時時刻刻都處在連續變化之中，盡管這種變化很微小，不宜察覺，但它是不間斷的。如果我們從函數的角度分析，上述現象就相當于函數的自變量在某一區間段上連續變化時，因變量也隨之連續變化，即使自變量的變化很微小，因變量也會隨之有微小的變化。經過的這樣分析，學生就能較好地把握函數連續性的本質特征了。
函數連續性的研究方法
函數的連續性反映了現實世界中連續的動態變化現象，如同一個動點能夠沿著一條延綿不斷的曲線運動。如何才能使學生認識到，研究函數的連續問題必須先從研究函數在一點上的連續開始呢？我們從自然界的連續現象中很容易認識到一個斷點就能打破一條連續鏈。同樣，觀察函數的圖像也會發現函數的曲線也呈現這個規律，如動點在曲線y=sinx上可以順暢地移動，而在曲線y=tanx或f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0上移動時，會在點x=kπ+，（k∈Z）或x=0處被“卡住”。通過這樣的觀察分析，學生就很容易歸納出：曲線上一個點便可決定一個函數在某個定義區間上的連續性。這樣，函數連續的問題就歸結到了研究函數在一點上的連續。
用什么方法確定函數在一點上的連續呢？函數在一點上的連續是一個局部概念，反映了函數在一點處兩個變量增量間的變化關系，即當函數的自變量有一微小變化時，因變量也隨之有一微小變化。如果利用初等數學的方法刻畫這種關系，顯然是行不通的，只有借助于極限工具進行深入的分析研究。通過教師適當引導，學生便會知道要想解決函數在一點上的連續的問題必須運用極限的思想方法。
函數連續性的定義
一個數學概念的形成過程，是人們對客觀現象進行探索歸納、抽象概括的過程。教學上如果對這一過程進行情境再現，不僅可以使學生了解概念的形成背景，而且對學生理解掌握概念的本質及其應用大有益處。若只是“填鴨式”傳授，把概念直接灌輸給學生，效果可想而知，也失去了通過數學教學過程對學生進行觀察分析、抽象概括能力培養的作用。
講授“函數連續性”一節時，可以先借助多媒體給學生播放植物的生長、河水的流動、汽車在高速路上奔跑等連續現象，再播放一棵大樹被攔腰截斷、一條大壩截住河水流動、一座斷裂的橋梁造成車輛停滯不前等不連續現象，與學生一起分析探索上述現象引出函數連續尤其是在一點上的連續的問題，并形成定義。
通常，關于函數y=f（x）在點x0連續的定義有兩種形式：
定義1：設函數y=f（x）在點x0的某一鄰域內有定義，如果當自變量的增量x=x-x0趨于零時，對應的函數的增量y=f（x0+x）-f（x0）也趨于零，即y=0，那么就稱函數y=f（x）在點x0連續。
定義2：設函數y=f（x）在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f（x）當xx0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f（x0），即f（x）=f（x0），那么就稱函數y=f（x）在點x0連續。
不同的教材，給出兩個定義的順序不同。無論哪種順序，關鍵是使學生理解并掌握函數y=f（x）要在點x0連續，必須滿足條件f（x）=f（x0）或y=0。為了使學生搞清楚條件的含義，教學時可以從反例入手，借助函數的圖像加以分析。
若先講定義2可以列舉以下實例：
例1：考察函數y=在點x=1處的變化情況。
如圖1所示，函數y=的圖像是直線y=x+1去掉了點（1，2），顯然函數y=在點x=1處就像一條繩子被剪斷為兩截不再連續，究其原因是函數在此點沒有定義。
例2：考察函數f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在點x=0處的變化情況。
如圖2所示，函數f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在點x=0處出現了“跳躍”斷開了，這種斷開不是因為沒有定義造成的。學生要問是什么原因造成的呢？這時應引導學生從極限角度進行分析，由f（x）=0，f（x）=2，可知f（x）=0不存在，由此便知，函數在有定義無極限的點處不連續。
例3：考察函數f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在點x=1處的變化情況。
如圖3所示，函數f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在點x=1處遇到了“陷阱”。直觀觀察，函數在處的函數值不是f（1）=12+1=2，而是f（1）=0.9。再進一步觀察發現，函數在點x=1處有定義極限也存在，可是f（x）=2，與函數值f（1）=0.9不相等，所以出現了“陷阱”。
三例過后進行小結，得出函數y=f（x）在點x0處若遇到下列三種情況之一就會不連續：（1）沒有定義；（2）有定義、極限不存在；（3）有定義、極限存在、但極限值與函數值不相等。這時善于思考的學生就會產生下列想法：“當函數y=f（x）在點x0處同時滿足了有定義、極限存在、極限值與函數值相等三個條件時，情況會是怎樣呢？”這時教師可以引導學生觀察連續函數曲線在一點上的狀況。
例4：考察函數y=x2在點x=2處的連續情況。
通過看該函數的圖像發現，函數y=x2在點x=2處沒有斷開是連續的，并且同時滿足上述三個條件。這樣學生就可以比較充分地認識到：函數要在一點上連續，必須滿足條件f（x）=f（x0），以及其中的含義。從幾何角度分析，動點在經過曲線上的一點時，經歷了沿著曲線無限接近于這一點的過程，如果函數在此點連續，動點就能到達此點并順利通過，否則就會被“卡住”。
在講解定義1時也可以采取同樣的方法，使學生理解函數y=f（x）要在點x0連續，必須滿足條件y=0?？梢越柚铝泻瘮档膱D像進行直觀地分析。假設函數y=f（x）在點x0處有增量x，當時x0時，由圖4所示的函數中發現，其相應函數的增量yA（A≠0），即y=A≠0。從圖5所示的函數中看出，相應函數的增量y不能夠收斂于一個確定的常數，從而導致y不存在。在圖6所示的函數中，相應函數的增量y∞，即y=∞。以上三種情況，函數y=f（x）在點x0都是不連續的，三個函數在點x0處都不滿足條件y=0。而在圖7所示的函數中，函數y=f（x）在點x0處連續，而條件y=0恰恰在點x0處得到了滿足。這樣就加深了學生對函數y=f（x）在點x0處滿足條件y=0就連續的理解。而條件y=0刻畫了函數連續的實質：當自變量有一微小變化時，因變量也會隨之有一微小的變化。
函數連續性的整體概念
如果只將函數的連續性局限在一點上連續的層面上，還不能全面把握函數連續的概念。如當考察函數y=sinx在點x=0處的連續性時，根據函數在一點連續的定義，由等式sinx=0=f（0）便知函數y=sinx在點x=0處是連續的。而當考察函數y=sinx在其定義域（-∞，+∞）上的連續性時，該如何進行呢？這需要進一步建立起函數連續性的整體概念。
一般的，知道了怎樣判定函數在一點上連續后，應給出函數在開區間（a，b）上連續的概念，即在開區間（a，b）內連續的函數y=f（x），必須在開區間（a，b）內每一點都連續。根據上述要求，在探討函數y=sinx在（-∞，+∞）上連續的問題時，要說明y=sinx在（-∞，+∞）內的“每一點”都連續，顯然逐點驗證是不可能的，如果能夠尋找到可以“代表”每一點的“點”，通過證明函數在此點連續，進而就可說明函數在區間上連續。
經分析發現，只要在區間（-∞，+∞）上設出任意一點，用“任一點”代替“每一點”加以證明即可使問題得到解決，這也正是數學簡約美之所在。如果考察函數y=f（x）在閉區間[a，b]上的連續性，不僅要求它在區間（a，b）上連續，而且還要滿足在區間的左端點a處右連續，右端點b處左連續。至此，關于函數連續性的概念就完整了，學生就會達成這樣的共識：函數的連續是動態變化的，是通過函數在其定義區間上的每個點上的連續實現的。連續函數的圖形呈現為一條連綿不斷的曲線。
參考文獻：
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[4]同濟大學應用數學系．高等數學[M]．北京：高等教育出版社，2007.
摘要:為了讓大一新生盡快適應高等數學的學習,本人認為加強高等數學中的概念教學是一個起關鍵作用的環節。
對于剛邁進大學的理工科的學生來說，高等數學是首當其沖的一門重要的基礎課。很多新生一時還難以適應，常常產生各種各樣的問題。如何幫助學生度過這一“非常時期”，使之盡快適應大學的學習生活學好高等數學這門主要的基礎課？筆者認為，加強高等數學中的概念教學是一個起關鍵作用的環節。
一、正確理解數學概念是學好高等數學的前提
無論是初等數學還是高等數學總是從繁雜紛紜的客觀世界中抽象出一系列的數學概念，然后以這些概念為基礎，進行合理的判斷和推理，引出一些定理和公式，形成一個理論體系，然后把“這些符合論理的結論”應用到新的應用領域或實際問題中，因此可以說，概念是數學的基礎，概念教學應成為高等數學教學的核心與重點，它是教師教好與學生學好高等數學的關鍵。只有當教師深刻全面地理解了概念的內涵與本質之后，才能透徹地講解給出來，學生才能很好的接受，才能以此為基礎進行推理、判斷、分析等思維活動，理解數學理論體系的來龍去脈，掌握運算的技能技巧。從而獲得應用數學方法去分析問題與解決問題的能力。
在初等數學中，大多數概念都比教具體直觀，學生容易接受，再加上課時較多，進度較慢，教師由淺入深，亦步亦趨，使一般學生都不會對接受新概念感到很困難。即使有一些學生不重視概念學習只注意計算方法與技巧，但在長期與大量的練習中，由于反復接觸，潛移默化，不知不覺地對概念由知之不多過度到知之較多，逐步掌握了概念。但在學習高等數學時，情況發生了很大的改變，高等數學是研究變量的數學，常常需要用運動的觀點來討論，因此更顯得抽象、復雜。例如極限、導數、積分等概念都是初學者所不能透徹理解的，加上大學里的教學進度快，反復練習的機會少。難免會使一些新生感到不適應，概念掌握不好，以致于以概念為基礎的理論及計算方法當然也就很難學好。因此能不能用有限的時間加強概念教學就成為提高教學質量的關鍵。
二、注重概念的引入是學習概念的先導
眾所周知，數學概念都是由客觀實際或客觀規律抽象出來的。很多概念都可以在實際中找到它的“原型”。例如：從曲線切線的斜率、變速直線運動的速度的計算等問題抽象出導數概念。從求曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等問題抽象出定積分的概念，這種方法符合學生的認識規律，學生只有透徹地理解解決這些問題的思路，才能真正地理解概念的實質及價值。因此，教師不能認為花費一定時間講解這些背景是沒有價值的、是在浪費有限的時間，因而便三言兩語草草了事或者根本不講背景，直接拿出定義，接著便是計算，一個例題接著一個例題，這是不妥當的。再者從客觀實例引進概念，也為以后應用這些概念及有關理論去解決應用問題作了一定的準備。
值得注意的是并非每一個概念都要求由實例引入，教師可靈活掌握。對于一些較易理解的概念也可以從已知的概念引出新的概念。例如：無窮小量可由極限概念中當極限值為零時來得到，連續概念也可由極限概念中極限值等于函數值來得到。而原函數的概念自然而然的可由導數的逆運算引出。這些概念對于學生來說都是不難接受的。
總之，不論是由實例抽象出概念還是由舊知識直接引出新概念，教師的主要目的應該放在使學生理解概念的形成，掌握概念的內涵上，所以所用的例子都不宜太復雜或者專業性太強，否則會造成喧賓奪主，反而影響概念的形成與引出。
三、數學概念的定義是概念屬性的體現
高等數學中的概念的具體內涵通常用定義的形式給出，有的概念還同時規定了所采用的符號。當教師以實際問題或學生的原有知識為基礎抽象出概念以后，就應引導學生理解定義所指出概念的本質屬性，從正面和反面等不通角度去反復領會，并利用自己的語言正確地敘述概念。
以導數的定義為例，教師應該使學生層層深入，理解以下各點：
第一、由于函數 在點 處的導數是函數增量 與自變量增量 之比當 時的極限，所以該函數必須在 處及其一個領域內有定義，否則就不可導，比如： 與 在 處就不可導。
第二、函數增量與自變量的增量有不同的表示法。因此導數定義式也有不同的表示法。如： 在 處的導數可以分別表示為 與 等。當極限不存在時此函數在該點不可導。
第三、定義同時給出了求導數的三個步驟：①求函數增量 ②求函數增量與自變量增量之比 ③求極限 ，告訴學生按照這三步就可以求出一些簡單函數的導數。
高等數學中有不少概念的定義都明確指出了計算的方法與步驟，除上述導數外，連續概念、定積分概念、級數收斂性概念等都是如此。教師在進行這類概念教學時應該花費一些力氣按定義指明的方法與步驟進行有關的計算，以加強學生對這一概念的理解。同時教師也應向學生指出按定義直接進行計算一般是很困難的，因此有必要研究其性質及別的計算法則，這樣做就可以喚起學生強烈的求知欲望。
當然高等數學中并非所有的概念都是如此，有些概念的定義只是明確了概念的內涵，而并沒有給出計算方法與步驟，如極限的精確定義、原函數與不定積分等等。教師在這類概念的教學中，為了加深學生的理解，一般都要按定義作一些驗證工作，如：證明 ，證明 和 都是 的原函數。
學生在學習高等數學時往往有一個不良習慣，輕概念重計算，以為學習高等數學無非就是要會計算、會做題。常常有這樣的事情發生，有的學生學完了高等數學也知道 卻說不清楚符號 所表示的確切含義，更有甚者學完了高等數學卻不知道微商是什么。因此從始至終抓緊概念的教學是很重要的，這不僅要熟記定義的條文、定理的條件和結論，更重要的是透徹地掌握其本質。
四、在概念系統中學習概念
教師經常會遇到這樣的情況，有的學生學習一個概念時，以為明白了定義的本質，但是若把這個概念與其它有關概念放在一起時，就糊涂了，比如極限、連續、可導、可微之間的關系，教師都會給學生講清楚，但學生一碰到下面的問題就舉棋不定，不知道從何寫起:
設
1) 取何值時， 在 處連續？
2) 取何值時， 在 處可導？
3) 取何值時， 的導數在 處連續？
為什么會出現這種情況呢？一方面是學生還沒有真正領會概念的本質，有的學生當時弄清楚了但缺乏鞏固措施，不久就忘了。另一方面是學生習慣孤立地學習概念，不善于把相關概念相比教，找出它們之間的聯系與區別。因此，在進行概念思維時就會出現“斷線”現象，無從下筆，或者寫不清楚。要解決這個問題，教師必須在概念系統中教會概念，學生必須在概念系統中學會概念。數學是由概念與命題等內容按一定的邏輯關系組成的知識體系。概念與概念之間總有一定的內在聯系，特別是一些相近的概念，其聯系更為突出，學生最易混淆。因此，教師在進行概念教學時要不時的將這些概念與前面所學過的相近概念相比教，找出它們的聯系與區別，前面說的極限、連續、導數、可微是如此，在此之后的四個中值定理更是如此。
總之，把概念放在概念系統中教學是教師應當把握的教學規律。教師每講一個新概念，首先必須對這一概念的地位、作用以及與其它概念的聯系做到心中有數，使學生對已學過的概念能做到融會貫通，同時，又為今后要學的新概念埋下“伏”筆。
最后要說明的是，對于工科高等數學中的概念的教學，教師必須掌握分寸。工科數學畢竟不同于數學專業的數學，應該著重于應用，而不宜在純數學理論推導上花費過多的精力，另外專業之間也應該有所區別，這些都是我們從事工科數學教學工作的教師應該注意的。
【中圖分類號】G642【文獻標識碼】A【文章編號】1006－9682（2009）01－0071－01
高等數學的基本研究對象是函數，而研究函數的基本方法是極限，極限的概念是個比較抽象的概念。對于那些從初等數學進入高等數學的高職高專學生而言，不論從知識結構方面，還是從思維方式上來講，都要有一個本質的轉變。為了更好的實現這個轉變，就要求我們教師必須把要教的知識內容進行必要的加工，按照學生的實際情況逐漸引導學生走上正確的分析思維，抽象，概括，解決實際問題的道路。
一、講解實例，使學生獲得有關極限概念的感性認識。
為了使學生更好的理解極限的概念，我們先從以下2個例子來講解。
例1：如何求圓的面積？
解題思路：用圓內接正n邊形的面積去逼近圓的面積。
設有一圓，其面積記為s，做它的正四邊形，正八邊形……正n邊形，記做s4，s8……sn，當圓內的正多邊形的邊數越來越多的時候，它的面積就越近似于圓的面積，即當n∞時，sns。
這個例題是非常有名的“劉徽割圓術”，雖然當時沒有嚴格的極限定義，但是他的這種思想正是體現了極限的概念。
例2：求變速直線運動的瞬時速度。
對這個實例應著重弄清兩個問題：第一，要求瞬時速度，為什么要先考慮平均速度？第二，為什么要規定瞬時速度是平均速度的極限？在瞬時速度的概念提出之前，已經有了勻速直線運動的速度概念及其計算方法，引出平均速度只要是將非勻速直線運動轉化為迅速運動來處理，從而求出瞬時速度的近似值。
（s―位置的改變量；t―時間的改變量）
表示物體在t時間內的平均速度，它隨t的變化而變
化，當時間改變量t越來越小時，位置的改變量s也越來越小，
而平均速度 越來越接近一定值，即平均速度作為瞬時速度的
近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度還不是t時刻的速度，而只是它的一個近似值。要把這個近似值轉化為精確值，即求出了t時刻的速度，只有縮小t，當t0時，v（t）v平均，也就是說t越變越小，v平均與v（t）就越接近，有近似值而飛躍到了精確值。
重點講清這個事例后，從而使學生認識到研究非均勻變化的變化問題確實是世界中存在的普遍問題，而這類問題的解決都歸納為求極限的問題。
二、根據實例給出函數極限的定義
通過上面兩個例子，我們可以將它們看作是一個函數。如果給定一個函數y＝f（x），其函數值y會隨著自變量x的變化而變化，若當自變量無限接近于某個“目標”，這個目標可以是任意一個確定的常數x0，也可以是＋∞或－∞。此時，函數值y無限接近于一個確定的常數A，則稱函數f（x）以A為極限，下面就以例題并結合它的數值表充分說明函數的極限。
例3：考察當x3時，函數 的變化。
解：函數 在（－∞，＋∞）有定義。
設x從3的左、右側無限接近于3，即x的取值及對應的函數表如下：
x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …
f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …
數值表給出后，教師應該引導學生去從靜態的有限量來刻畫動態的無限量，通過直觀的數據讓學生看到，當x越來越接近于
3時，也就是我們所說的那個目標，函數值 的值就
無限接近于3，體現了我們最后用近似值代替精確值的思想。那么，由這個例題，教師可以給出極限的定義。
定義：設函數f（x）在點x0的某一空心領域內有定義，如果當自變量x無限接近于x0時，相應的函數值無限接近于常數A，則稱A為xx0時，函數f（x）的極限，記作： 或
f（x）A（xx0）。
極限的定義給出以后，教師可以讓學生根據極限的定義寫出
例三的極限，即 。
這時，有些同學可以看到， 的極限值與f（3）的函
數值相等，這是怎么回事？它會給同學們一個錯誤的概念，求極限就是在求函數值，雖然在后面我們會講到某些函數求極限是靠函數值求出來的，但是這二者之間沒有任何關系。
例如，求 ，如圖所
示，當x＝1， 無意義，所
以函數值是不存在的，而當x1時，從圖象上可以看出
，所以說，極限是否存在與這點有沒有函數值沒有
任何關系。
參考文獻
