時間：2023-04-01 10:31:47
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既是教學中心又是科研中心的大學，必然在著重加強基礎訓練同時，又要使教學過程帶有研究性質，在教學過程中，提出學生覺得需要解決的問題，加以適當引導，學習研究。在解決問題的同時，提高學生思維能力，使教學與科研相結合。那么研究式教學就有著必然性，成為調動大學生學習的積極性、主動性、創造性和辯證思維能力的重要手段。
在中學教學中，為了有目的性，針對性調動學生學習積極性、主動性，引導他們在教學大綱范圍內鞏固基礎知識，提高能力，發展智力，將來適應大學的研究性教學形式，我認為，中學教學教育中，也可以根據中學生特點，采取“提問質疑--自學求索--討論研究--總結提高”的中學教學研究式教學方法。
提問質疑。在課堂上，課外活動中或數學講座上，根據學生水平，教材內容，提出需要解決的問題，激發學生興趣，引起對學習某種知識的需要，產生學習研究的動機，對求知欲旺盛的學生來說，也起到引導他們正確學習方向的把關作用，防止無目的不切實際的“亂學”，即一是“引趣”二是“定向”。
自學求索。教師引導學生對課本或有關課外閱讀材料，書籍，學習與研究問題有關的知識，要求學生精讀教材或課外書。掌握有關知識或提出不懂問題。
討論研究。在課堂上（提出的問題在教材范圍內且與大多數學生必須掌握的基礎有關）或在課外（提出的問題有一定難度）由集體（小組或教師與個別有關學生）進行探索研究，介紹自己的學習體會或解決問題的方法。
總結提高。由老師或學生總結解決問題的方法或結論，進行歸納小結，可采用老師在課堂上或數學講座中總結規律，解答疑難，也可由學生寫讀書筆記或小論文。用自己的語言進行歸納，談出自己學習心得或獨立見解。
在《不等式》一章教學中，課本對基本不等式“A=≥=G”的證明，只要求對n=2.3的情況進行證明，當學生運用公式達到一定熟悉程度時，便對數學成績好的學生（對成績中等以下則要求不要去研究，以免加重負擔），提出怎樣證明公式一般情形，介紹有關學生閱讀華羅庚的《數學歸納法》或其他教學參考書，數學成績好的學生興趣很濃，翻閱有關書籍學習，并對常見兩種證法提出不懂問題進行熱烈討論。最后，教師在數學講座中給以講解，并對教學歸納法證明中的一些技巧或“變著”進行介紹，加深了數學愛好者對數學歸納法的深入理解。其中有一個學生在一本課外書上看到關于這個公式證明的簡單介紹：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）則a1+a2+an≥n”（實際上是公式A≥G的特例）證明公式“A≥G”而前者則可用數學歸納法證明。當他學習研究有困難，教師加以指導。這個學生終于解決這一問題，則讓他歸納總結，寫成小論文，后發表在《中學生數學報》1985年第5期。這種證法介紹給其他學生，學生感到較前面兩種證明方法易懂。通過這樣做，使學生帶著問題，圍繞當前學的基礎知識去自學研究，使知識面擴寬，有利于培養學生的創造性思維。
“什么是創造性思維？”它是主動地，獨創性地發現新事物，提出新的見解，解決新的問題的一種思維形式，就是我們平常說的能做到舉一反三聞一知十。這里的創造，不是指科學家的發明創造，科學家的發明創造是說他們所發現和解決的問題往往是人類不曾發現和解決的新事物，而學生的發現、創造和解決問題僅僅是對于他本人來說是一種新鮮事物。學生創造性思維的培養和發展，有助于他們將來進行更大的創造?！埃ㄕ掠郎骸督逃睦砼c教學法》）誠然培養中學生的創造性思維，首先會有利于中學生將來到大學深造時主動地有創見性的學習。中學的研究式的教學法與大學少年班的研究式有不少差別：如對象不同---少數數學優等生與群體優等生（且優的程度差別很大）。性質不同--解決尚未學懂的問題與解決尚未解決的問題。方式不同---以發揮老師主導作用解疑為主與發揮學生主體作用為主。但都是為了培養學生主動的積極的創造性的學習動機、方法和能力。前面介紹研究“A≥G”公式證明有創見（即通過學習探討獲得新知識）的學生，爾后學數學的興趣愈濃，參加1986年全國數學競賽獲自治區三等獎，他所在班級（即筆者任教并試行此法的八七理二班）學數學，研究數學的空氣很濃，參加1986年全國高中學生數學競賽時，有12人獲地區一、二、三等獎，有一人獲自治區一等獎，二人獲自治區二等獎，有一人獲自治區三等獎，體現了學生的分析問題和解決問題的能力，創造性思維能力都有很大提高。
提問質疑，其目和是喚起學生的興趣，求知欲，好奇心，必須難度適當，不能脫離教學大綱和學生實際，而應該是能體現教學大綱，讓學生通過自己的積極努力能理解并感到克服學習困難產生一種樂趣的這種適當難度?？梢赃@樣說，讓學生跳一跳才能摘到樹上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，適當的質疑，讓學生經?！疤惶闭焦?，這樣多跳幾次，“彈跳力”---自學能力，分析能力等就隨之提高了。
在“自學求索”這一階段，必須培養學生的自學習慣。讀書的方法和鉆研的精神，即自學能力。例如在立體幾何關于《直線與平面平行的判定定理》一節中，在課前預習提出下列問題：1、直線與平面有幾種位置關系？判定方法怎樣？2、直線與平面判定定理怎樣證明？還有其他方法嗎？課堂上，學生都可以回答上述兩個問題，特別是對第二問題討論熱烈，列舉各種證法，經過總結，提高了學生對反證法的運用能力。然而，向學生提出“直線與平面平行的判定方法是怎樣思考到的？”這一問題時，學生都無從回答，其原因是學生在“自學求索”這一過程中，學生僅在預習課本時，直接記出定理，沒有求索探因，對第一個問題（這是本節最基本問題）覺得似乎易懂而放棄思索研究，筆者帶領學生再進一步研究直線與平面的直線在平面內，直線與平面相交平行三種位置的特點：用一支細直棍（代表直線）在一平面進行“在平面內”“平行”的變化過程的演示。
將直線先從在平面內，再平行移動到平面外，來找到線向平行的判定方法。這樣做使學生對教材深入鉆研，自學求索。過去，筆者是先從上述演示而引起線與平面平行判定定理，再證明，這樣做可稱“啟發式”，而現在采取先提出問題，讓學生經過自學研究等階段來總結提高，可稱“研究式”。
研究式的教學方法可應用于課堂教學（如立幾的線面平行判定定理一節）中，可與其他教學形式有機結合在一起進行課堂教學，也可應用于課外研究，數學講座，數學課外活動小組，指導個別數學優等生學習。（如公式“A≥G”的證明）
對某個數學問題的研究，不應畢其功于一役，而應該結合學生掌握知識的程度的不斷提高而引導學生在“自學求索”“討論研究”兩個階段中逐漸深入研究問題。
在解析幾何《橢圓》一節中有這樣一個例題：我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道，是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點A距地面439公里，遠地點B距地面2384公里，地球半徑為6371公里，求衛星軌道方程。
此題計算不難，學生很容易掌握，但下課前，提出問題，為什么地球的近地點和遠地點分別在橢圓長軸兩端點（實際上，在預習此課時，已有少數養成研究習慣的學生提出此問題），并結合題目分析歸納成一個極值問題：為什么橢圓上的點到焦點的距離的最遠點和最近點分別這橢圓長軸的兩端點？
課后，有的學生利用代數方法解決這一問題，但不少學生在遇到函數自變量為二個變量x.y時忘記了，“曲線上的點的坐標必滿足這曲線方程”這一基本概念，或者運算化簡過程中配方法不熟練。
當學習到圓錐曲線統一定義時，第二次提出此問題讓學生研究，掌握用“求圓錐曲線點到焦點的距離可化這點到準線距離”來解決，減少變量個數。
當學習參數方程時，第三次提出此問題，讓學生學會利用以角為參數方程，使代數極值問題化為三角函數極值問題來解決。
【正文】
本文有兩個互相關聯的目標：第一，對科學哲學對于數學哲學現展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎主義的數學哲學進行比較，從而清楚地指明數學哲學現展的革命性質。
一、從一些具體的研究談起
如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數學哲學研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數學基礎問題進行了系統和深入的研究，并發展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數學觀，從而為數學哲學的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數學的范圍，特別是，基礎主義的數學哲學曾對維也納學派的科學哲學研究產生了十分重要的影響，而后者則曾在科學哲學的領域長期占據主導的地位。
然而，在四十年代以后，上述的情況發生了重要的變化。盡管邏輯主義等學派作出了極大的努力，他們的研究規劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經歷了所說的“黃金時代”以后，數學哲學的發展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數學哲學的困境相對照，科學哲學則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統進入了一個欣欣向榮的、新的發展時期。也正因為此，科學哲學的現展就對數學哲學家產生了巨大的吸引力，并對數學哲學的現展產生了十分重要的影響。
就科學哲學對于數學哲學現代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學哲學推廣應用到了數學的領域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數學與一般自然（經驗）科學之間顯然存在有重要的質的區別。
為了使得由科學哲學中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數學哲學的研究，最好的方法就是集中于相應的研究問題，也即是希望通過以科學哲學領域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數學哲學中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數學研究綱領方法論的發展”就以拉卡托斯的科學哲學理論，也即所謂的“科學研究綱領方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關注的則是數學的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學研究綱領方法論相類似的數學發展的方法論準則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學哲學理論表現出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認識到：“數學與經驗科學之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數學中卻不存在這樣的對應物?！币虼?，在Hallett看來，相應的科學方法論準則（即新的理論能作出某些預言，這些預言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數學的領域。
與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數學進步的準則。Hallett并指出，這一準則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學研究綱領方法論的直接推廣。
在數學哲學領域內我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關于科學哲學領域中的思想或理論對于數學哲學“可應用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數學：關于數學的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應用到數學時，應當首先考慮兩個問題：第一，“在數學中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數學編年史的研究是否有確定的、富有成果的應用？”
顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關于應當如何去從事數學哲學（和數學史）研究的基本思想。
正是從這樣的立場出發，Mehrtens提出：“盡管（數學中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現象，我對這兩個概念持否定的態度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具?！?/p>
當然，上述的結論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學共同體”這兩個概念對于數學史（和數學哲學）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學共同體的社會學概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們為數學編年史提供了關鍵的概念?！?/p>
上述的批判態度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數學哲學研究。
一般地說，基切爾在數學哲學領域內的工作主要就是將庫恩的科學哲學理論推廣應用到了數學之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關于科學活動社會—文化性質的分析等。另外，基切爾所主要關注的則是數學歷史發展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發，基切爾首先考察了什么是數學變化的基本單位。基切爾寫道：“一個首要的任務，就是應當以關于數學變化單位的更為精確的描述去取代關于‘數學知識狀況’的模糊說法。這一問題與關注科學知識增長的哲學家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認為，在這兩種情形中，我們都應借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長。”
在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業質基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數學中的對應物，而是對“數學實踐（活動）”的具體內容作出了自己的獨立分析。基切爾提出，“我以為我們應當集中于數學實踐的變化，并把數學實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認為是重要的問題，和元數學觀念?！憋@然，這即是對庫恩基本思想的創造性應用。
其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數學實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉變當然也是批判性的立場和獨立思考的直接結果。
二、新方向上研究的共同特征
盡管在新方向上工作的數學哲學家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學哲學的重要影響。
1.對于數學經驗性和擬經驗性的肯定
所謂數學的經驗性，就其原始的意義而言，即是對數學與其它自然科學同一性（analogy，或similarity）的確認。這一認識事實上構成新方向上所有工作的共同出發點。
關于數學經驗性的斷言顯然正是對于傳統觀念的直接否定，即數學知識不應被看成無可懷疑的絕對真理，數學的發展也并非數學真理在數量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數學從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了?！?/p>
事實上，人們曾從各種不同的角度對數學與自然科學的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結構的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經驗性的肯定事實上也可被看成關于數學的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數學哲學家所普遍接受的）的一個直接結論。這就是說，如果數學與其它自然科學一樣，最終都應被看成人類的一種創造性活動，并構成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數學的發展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復雜過程，而且，“數學的內涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學的認識論目標所決定的?！?/p>
其次，如果說數學的經驗性集中地反映了數學與其它自然科學的同一性，那么，對于數學擬經驗性（quasi-empirical）的強調則就突出地表明了數學的特殊性。
具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應用外，就數學理論而言，是否還存在其它的判斷標準？另外，擬經驗的數學觀的核心就在于明確肯定了數學有自己特殊的價值標準，這就是新的研究工作對于數學自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數學工作者真實態度的一個直接反映。例如，美國著名數學家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數學各個領域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結果的理解?！?/p>
由此可見，我們就應同時肯定數學的經驗性和擬經驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數學哲學的研究中取得實質性的進展，我們不僅應當保持頭腦的開放性，也即應當努力從科學哲學中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應高度重視數學的特殊性，即在一定程度上保持數學哲學的相對獨立性。
2.對于數學方法論的高度重視
理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學哲學現展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數學哲學領域中卻似乎沒有受到嚴重的挑戰，但是，后者并不意味著現已存在某種為人們所普遍接受的關于數學發展合理性的理論，恰恰相反，后一目標的實現還有待于長期的努力。
然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現今人們普遍地更加重視對那些源自科學哲學的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現已認識到，對于數學的社會—文化性質的確認，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數學歷史發展合理性的同時，人們也認識到了這種發展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構的，……即包括有一個社會協商的過程。”從而，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發，格拉斯提出，我們應對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應當用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡?！?/p>
值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學哲學現展的一個重要特點，特別是，這即是科學哲學領域中所謂的“新歷史主義學派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發展出關于科學發展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學哲學對于數學哲學現代研究的重要影響。
艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數學哲學應當關注與那些研究人類知識其它領域（特別是，自然科學）同一類型的問題。例如，哲學家們應當考慮這樣的問題：數學知識是如何增長的？什么是數學進步？是什么使得某一數學觀點（或理論）優于其它的觀點（或理論）？什么是數學解釋？”特別是，“數學在其發展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數學方法論作出恰當的說明就構成了在新方向上工作的數學哲學家的核心問題。顯然，這一立場也是與現代科學哲學中對于科學方法論的高度重視完全一致的。
3.對于數學史的強調
如眾所知，對于科學史的突出強調也是科學哲學現代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學哲學長期為邏輯實證主義所支配，后者認為科學史是與他們的研究毫不相關的；但是，這種形勢現在已經有了改變……科學哲學家們現已認識到了歷史研究的重要性。”這就是說，“如果沒有給予科學史應有的重視，科學性質的分析就是不可能的?！笨茖W哲學的上述變化對在新方向上工作的數學哲學家也產生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據了十分重要的位置。可以說歷史方法事實上已成為數學哲學現代研究的基本方法之一。
作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。
這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認為數學方法論的任一理論都應用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數學史家與數學哲學家的密切合作，并認為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數學哲學的重要論題可以由哲學家與歷史學家的有組織對話得到啟示?！覀兿Ｍ麣v史的材料能在數學哲學家那里獲得更為深入和系統的應用；同樣地，我們也希望哲學家由歷史所激發的思考能給歷史學家提供新的問題和思想?！憋@然，這種態度與傳統的把數學哲學與數學史絕對地分割開來的作法是截然相反的。
最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數學史之上的數學哲學”。具體地說，相關的數學哲學家在此所希望的就是能發展出關于數學知識的這樣一種理論，它能正確地反映數學的歷史發展，即“現代的數學知識是由初始的狀態經由一系列的合理轉變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數學史對于數學哲學的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數學哲學的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數學史對于數學哲學來說，不僅不是無關的，并事實上占有核心的地位?！?/p>
4.實際數學工作者的“活的哲學”
應當指出，對于數學史的高度重視不僅直接涉及到了數學方法論的研究，而且也標志著數學哲學研究立場的重要轉變。在新方向上工作的數學哲學家們幾乎一致地認為，實際的數學活動應當成為數學哲學理論研究的出發點和最終依據?！罢軐W沒有任何理由可以繼續無視實際的數學活動。事實上，正是這種實踐應當為數學哲學提供問題及其解決所需要的素材?！?/p>
當然，上述的轉變直接反映了實際數學工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數學哲學應當建立在對于這一領域（按指數學）中所實際發生的一切的仔細觀察之上?！?/p>
最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數學方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學家就可以此為依據對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發現這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數學家們則可能會發現以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領域是如何由過去的數學演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數學家關于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發作用?！憋@然，這一認識與現代科學哲學中對于方法論的強調是完全一致的。
三、數學哲學的革命
從整體上說，與先前的基礎主義數學哲學相比，新方向上的研究無論就基本的數學觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發生了十分重要的變化。我們就可以說，數學哲學已經歷了一場深刻的革命。
1.研究立場的轉移，即由與實際數學活動的嚴重分離轉移到了與它的密切結合。
由于深深地沉溺于對已有的數學理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學派在基礎研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認為應當對已有的數學理論和方法進行嚴格的批判或審查，并通過改造或重建以徹底解決數學的可靠性問題。從而，基礎主義的數學哲學主要地就是一種規范性的研究，而也正因為此，基礎研究在整體上就暴露出了嚴重脫離實際數學活動的弊病。
與此相對照，在新方向上工作的數學哲學家普遍采取了相反的立場，即是認為數學哲學應當成為實際數學工作者的“活的哲學”，也即應當“真實地反映當我們使用、講授、發現或發明數學時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉移事實上也就意味著數學哲學性質的重要改變：這已不再是實際數學工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。
2.對于數學史的高度重視。
由于邏輯主義等學派所關注的主要是數學的邏輯重建，因此，在這些學派看來，數學的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數學的哲學分析完全不相干的，而數學哲學家所唯一應當重視的則就是邏輯分析的方法。
與基礎主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數學哲學家則普遍地對數學史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數學活動的歷史和社會層面的關注清楚地表明了‘新’的數學哲學與傳統的新弗雷格主義傾向的區別，而后者在本世紀前半葉曾在這一學科中占據支配的地位?！憋@然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現。
更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認識：“沒有數學史的數學哲學是空洞的；沒有數學哲學的數學史是盲目的?！保ɡㄍ兴拐Z）這不僅標志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數學哲學（和數學史）的研究指明了努力的方向。
3.研究問題的轉移。
由于對已有的數學理論和方法可靠性的極大憂慮構成了邏輯主義等學派的基礎研究工作的共同出發點，因此，基礎主義的數學哲學主要地就是圍繞所謂的“數學基礎問題”展開的。這也就是指：如何為數學奠定可靠的基礎，從而徹底地解決數學的可靠性問題？
與此相對照，現代的數學哲學家一般不再關心數學的可靠性問題，而這事實上也就是數學工作者實際態度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數學哲學研究的一個明顯和無可辯駁的出發點，即人們具有一定的數學知識，這些數學知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。
對于力圖為實際數學工作者建立“活的哲學”的數學哲學家來說，數學哲學研究的核心問題無疑就在于：如何對數學（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數學哲學始于這樣的思考，即是如何為數學提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數學本質特性并對人們如何能夠從事數學活動作出解釋的綜合觀點?！憋@然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數學哲學的現代研究中占據特別重要的位置。
4.動態的、經驗和擬經驗的數學觀對于靜態的、絕對主義的數學觀的取代。
盡管邏輯主義等學派對什么是數學的最終基礎有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現的又都可以說是一種靜態的、絕對主義的數學觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數學奠定一個“永恒的、可靠的基礎”，這樣，數學的進一步發展也就可以被看成無可懷疑的真理在數量上的單純積累。
如果說靜態的、絕對主義的數學觀在基礎主義的數學哲學中占據了主導的地位，那么，由于把著眼點轉移到了實際的數學活動，人們現已不再把數學的發展看成是無可懷疑的真理在數量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創造性活動，數學發展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態的、經驗和擬經驗的數學觀就已逐漸取代傳統的靜態的和絕對主義的數學觀在這一領域中占據了主導的地位。
綜上可見，相對于基礎主義而言，現代的數學哲學無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發生了質的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數學哲學的現展中已經發生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學哲學的影響有著十分緊密的聯系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數學哲學現展的特殊重要性。
【參考文獻】
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新課程下的教育，是關愛學生生命發展，弘揚學生靈性的教育。新課程理念下的數學教學是以思維能力培養為核心，促進學生對數學思想、數學方法的理解與把握。讓學生從看似枯燥的數字、圖形和抽象的邏輯思維中，體會到數學的魅力，讓數學之花在小學數學課堂上盡情綻放，這是我多年來在課堂教學中一直努力追求的境界。下面結合自己多年的教學實踐和探索，談一談自己的一些做法和體會。
一、良好的學習情境------數學之花生長的土壤
“讓學生在生動具體的情境中學習數學”，“讓學生在現實情境中體驗和理解數學”是《數學課程標準》給我們廣大數學教師提出的教學建議。良好的學習情境是讓數學之花生長的土壤。妙地創設各種情境，最大限度地激發孩子的求知欲，像磁鐵把每一個孩子的心緊緊地吸在一起，把有限的課堂時空變為人人參與、個個思考的無限空間。
在教學《誰先走》一課時，我一開始就創設一個“下棋比賽誰先走”的游戲情境，大大激發了學生的學習興趣，將學生帶入游戲規則是否公平的討論之中；然后通過“擲骰子”和“擲硬幣”兩個游戲活動讓學生驗證、體會游戲規則的公平性，修改不公平的游戲規則；再通過玩轉盤游戲，給轉盤游戲制定公平的游戲規則；最后組織學生自己設計一些對雙方都公平的游戲等，給全體學生再次參加游戲活動的機會，并引導學生聯系生活實際，關注身邊的不確定現象，應用所學去解釋、解決一些簡單問題。本節課自始至終都是在各種游戲活動的情境中發現問題，探究知識，解決問題，學生在玩中學，學中悟，課堂成了歡樂的海洋，原來數學學習也可以這樣的生動活潑、快樂有趣。
再如北師版第四冊《整理與復習（一）》是學生在學習了“除法”、“混合運算”、“方向與路線”“、生活中的大數”幾個單元之后的一節綜合復習課。在教學此課時，我針對春天來了，學生都特別喜歡外出游玩的心理特點，結合生活實際為學生設計了一個“淮南草莓節一日游”的教學情境，把枯燥的數學知識變得生動、有趣、貼近生活。在讓學生說行車路線和各個景點相互位置關系時復習了方向與路線這一知識點；接著在不同時間景區游玩人數的比較中，有效地復習了萬以內數的讀寫法；然后在購買旅游食品這一環節巧妙的復習了四則混合運算的運算順序和計算方法，以及運用混合運算的有關知識來解決實際問題。整節課學生興趣盎然，在精心創設的一日游情境中進行綜合的復習和運用。良好的學習情境是數學之花生長的肥沃土壤。
二、積極的探究活動------數學之花孕育中綻放
《新課標》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式?！薄皩W生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程?！碧骄渴綄W習為每一層次的學生提供了選擇的空間，人人都能參與，人人都有收獲。在課堂上我根據教學內容的實際情況，給學生提供充分的探究活動空間，讓學生在活動中探究，探究中體驗，體驗中發現，發現中提高。數學之花就在實踐和創新的過程中盡情綻放。
在教學《三角形內角和》時，我先請學生測量并標出各種不同三角形三個內角的度數，然后報出其中任意兩個內角的度數，請老師猜一猜第三個角是多少度，老師對答如流，準確無誤。學生帶著驚奇和疑問，走進了數學知識的發現和探索中，有的用測量后再計算的方法，有的用折紙的方法，有的把三個角撕下來，重新拼在一起，還有的用長方形對折成兩個三角形推導等不同的方法探究得出了三角形內角和是180°。學生們很快揭穿了“老師總能猜對”的秘密。接下來又是一次具有挑戰性的探究——“根據三角形內角和是180°，你能推導出五邊形、六邊形……一百邊形的內角和是多少度嗎？”在積極的探究活動中，孩子們通過自己的努力，終于發現了多邊形內角和等于180°×(邊數－2)的規律。課上有疑問、有猜想、有驚訝、有爭議、有沉思、有聯想……學生在探究、交流、發現規律的過程中處處閃現著智慧之花，數學之花在攀登數學高峰的征程中盡情綻放。
三、適時的激勵賞識------數學之花盛開的催化劑
德國教育家第斯多惠曾說:“教學的藝術不在于傳授的本領,而在于激勵、喚醒、鼓舞?！笨梢?激勵學生,充分發揮學生的積極性、主動性和創造性,營造出一種“海闊憑魚躍,天高任鳥飛”的育人氛圍是非常重要的。一句充滿期待的話語能激活一個人潛在的巨大的自信。一次成功的體驗能激發學生濃厚地學習興趣。我始終堅持用激勵和賞識去評價學生，我努力地尋找契機，挖掘他們內在的潛能，真誠地贊許他們，激發他們向上的動力。“你的思維很獨特，你能具體說說自己的想法嗎？”“你發現了這么重要的方法，老師為你感到驕傲！”“試一試，相信自己，老師知道你能行！”“你是個求上進的孩子，你能夠學得更好！”……一句真誠的鼓勵，一個關注的眼神，一次溫柔地撫摸，讓課堂變得溫情四溢，充滿生機和活力。我精心創設使他們都能獲得成功的機會，營造一個享受成功的氛圍，使不同學生都能品嘗到成功的喜悅和勝利的自豪。不斷的激勵，不斷的賞識，不斷地享受成功帶來的快樂和自信，培養了孩子們熱愛數學、鉆研數學的濃厚興趣，而孩子們的不斷投入，使得一朵朵數學之花在不斷的賞識和激勵中含苞欲放。
二、加強培養學生的數學意識
如何加強數學意識，培養學生的數學品質呢？我是這樣做的：
（1）重視對新生入學的啟蒙教育。從一年級開始不斷對學生進行學習數學必要性的教育，使全體學生都愿意上數學課，培養學生初步的數學意識。
（2）充分利用活動課，介紹數學家、科學家的事跡，介紹先進的科學技術，說明數學在科學技術中的重要地位，用事實鼓勵學生認真學習數學，掌握數學知識。
（3）重視新教材、新內容的引入教學。數學第六冊第119頁“面積和面積單位”中寫道“看看數學課本的封面和鉛筆盒蓋的面，說出哪一個比較大，哪一個比較小，你會比嗎？”向學生說明比較大小要用到數學，通過面積的認識，增強數學意識。
（4）學生的數學意識不可能一樣。對那些愛好數學的“尖子”，要注重培養他們抗挫折的堅韌不拔的毅力，樹立更遠大的學習目標。對于成績較差的學生，要針對他們各自的情況，對癥下藥。對他們的每一點進步都要給予特殊的鼓勵，使他們樹立學習數學的信心，增長克服困難的決心，激發學生愛數學、學數學的興趣，提高他們的數學意識。
三、注重學生思維品質的培養
（1）思維獨立性的培養。思維的獨立性是指善于思考的品質。具有思維獨立性的人，遇事總要問一個為什么，總要運用自己的大腦去思考問題，尋求答案，決不盲從別人。
（2）思維邏輯性的培養。思維邏輯性是指思維的嚴密程度，它表現在思考問題時遵循邏輯的規律，提出的問題明確而不含糊，推理合乎邏輯規則，論證問題時條理清楚，有理有據，具有說服力和雄辯力。這是一種比較高級的思維品質，需要從小培養和訓練。
解析觀察發現這里正方形內的七巧板有5塊是等腰直角三角形，1塊正方形和1塊銳角為45°的平行四邊形。利用數字標出組成正方形和小貓的七巧板之間的對應關系，如圖2所示，∠AOB內部的兩塊是等腰直角三角形，則∠AOB=90°.
例2(湖北荊門市)用四個全等的矩形和一個小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長和寬(x＞y)，則下列關系式中不正確的是()
(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．
解析觀察拼圖3可發現:大正方形的邊長是矩形的長和寬之和；小正方形的邊長是矩形的長和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長是4可知其邊長是2,即x-y=2②,因此選項A和B的關系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.
點評例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應原型的，這里改編成中考試題可謂老樹發新枝。事實上學生若能認真觀察圖形的本身特點進而找到相應數量關系，準確解答并不是件難事。
2與多邊形、圓相結合,注重考察學生對幾何性質的綜合運用.
例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關系是．
解析此題中所求三個正方形的面積S1、S2、S3之間的關系實質是求梯形ABCD的兩個腰長及上底邊邊長
三者的平方關系.可利用梯形的高來建立橋梁
作用.如圖5，分別過點
A、B做AEDC,BFDC,
垂足分別為E、F.設
梯形ABCD的高為h,
AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.
例4(江蘇南通市)在一次數學探究性學習活動中，某學習小組要制作一個圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設計了如圖6所示的方案一，發現這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖7所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）
（1）請說明方案一不可行的理由；
（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．
解析(1)因為扇形ABC的弧長＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應為4cm．由于所給正方形紙片的對角線長為cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為cm，由于，所以方案一不可行．
(2)設圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．
點評將正方形與多邊形、圓結合是中考中出現頻率較高的題目。此類題目涉及知識點較多，跨度較大，需要學生具有較為扎實的基本功，具有綜合運用相關數學知識的能力。
3與“動點問題”相結合,注重考察學生對不變因素的探究能力.
例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PFCD于點F。如圖8，當點P與點O重合時，顯然有DF＝CF．
(1)如圖9，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PEPB且PE交CD于點E.
①求證：DF＝EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；
(2)若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點E。請完成圖10并判斷(1)中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）
解析(1)①如圖11過點P做PHBC,垂足為點H,連接PD.此時四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，進一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因為PEDC,可證得DF=FE.
②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因為PF∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.
(2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長線上取一點E,使得PEPB.此時有結論①DF=EF成立.而結論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關系.證明與②類似,略.
點評動點問題是中考熱點問題之一，它要求學生善于抓住運動變化的規律性和不變因素，把握運動與靜止的辨證關系.例5中,無論動點P在線段AC上如何運動,∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.
4與對稱、旋轉相結合,注重考察學生變換的數學思想.
例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合.展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G，.連接GF.下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結論的序號是.
解析由題意可知AED和FED關于ED所在的直線對稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結論是①、④、⑤，其余結論顯然不成立。
例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長線）于點M,N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖14），易證BM+DN=MN．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖15），線段BM,ND和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖16的位置時，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．
解析(1)如圖17，把AND繞點A順時針90°，得到ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進而可證得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.
(2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.
點評平移、翻折和旋轉是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等.巧妙的運用變換的基本性質或構造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢.
5與函數圖象相結合,注重考察學生的數形結合思想.
例8（湖南長沙市）在平面直角坐標系中，一動點P（x，y）從M（1，0）出發，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點組成的正方形邊線（如圖18）按一定方向運動。圖19是P點運動的路程s（個單位）與運動時間（秒）之間的函數圖象，圖20是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數圖象的一部分.
（1）s與t之間的函數關系式是：；
（2）與圖20相對應的P點的運動路徑是：；P點出發秒首次到達點B；
（3）寫出當3≤s≤8時，y與s之間的函數關系式，并在圖16中補全函數圖象.
解析（1）圖19是正比例函數圖象，易求得s與t之間的函數關系式為：S=(t≥0)
（2）從圖20的函數圖象可以看出，動點P的縱y在運動時隨時間t的增大開始時逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說明P點在正方形的運動路徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點從點M運動到點B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達點B需要時間為10秒.
(3)結合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動點P從點M向點D處運動；第1至3秒時，動點P從點D向點A處運動；第3至5秒時，動點P從點A向點B處運動；第5至7秒時，動點P從點B向點C處運動；第7至8秒時，動點P從點C向點M處運動.時間段不同，函數關系不同，因此列分段函數為：當3≤s＜5，y=4－s；當5≤s＜7，y=－1；當7≤s≤8，y=s－8．補全的函數圖象如圖21.
點評函數圖象問題是數形結合的數學思想的重要體現，在中考試卷中也往往作為具有一定區分度的題目出現。例8是一個分段函數問題，其關鍵是依據函數圖象弄清楚點P在正方形ABCD上的哪一段運動,坐標與時間、路程如何變化.
6與實際問題相結合,注重考察學生構建數學模型的能力.
例9（湖北荊門市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、概念、命題、法則等知識是不夠的?！酥?，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
指導教師：XXX
學生：XXX
一、研究意義:從提高職校數學教學的角度出發，使數學教學更好地服務職校職業化、專業化人才的培養目標，
二、文獻綜述
情感教學是指教師在教學過程中，在充分考慮認知因素的同時，充分發揮情感因素的積極作用，以完善教學目標、增強教學效果的教學。
三、研究的主要內容，重點和難點
本研究的目標:本次論文詳細闡述發揮教師情感作用，讓數學教學與情感教學相結合，成為一種新型教學策略。該策略在職校教學中的重要性與可行性將是本論文講敘的重頭戲。
本研究的主要內容:中職數學情感教學策略益處分析
中職數學情感教學策略有助于高效地利用有限的課堂教學時間，幫助學生提高數學學習效率。提升學生的創造性學習能力，激發學生學習數學的興趣，而且還可以間接激發學生熱愛自己所學的專業。打下堅實的數學基礎。
（1）中職數學情感教學策略價值所在
由于職中生學習基礎多數較差，學習的內在動力不足，因此在職校數學教學中，發揮教師的情感作用就顯得非常有價值。
（2）不實行中職數學情感教學策略弊端。
其一在于沒有情感教學，數學的本身具有枯燥性、乏味性，這使得學生聽聽不喜歡聽了，新舊知識的連接不好，學生不懂新的知識，就不樂于、不易于接受新知識信息。相當于喪失了學習內部的驅動力，表現為學習消極、缺乏信心，雖經補課，不僅沒能達到預期的效果，反而加劇了失敗心態的發展，致使教師束手無策。在情感教學中，實施尊重學生、信任學生，尊重和信任是溝通師生情感的橋梁。尤其是差生，對教師的教學要求，往往取決于師生間有無相互尊重和信賴的情感。學生的自尊心和自信心又是建立教學情感的重要因素。
二、、中職數學情感教學策略的實施
（1）教學應對學生的情感和態度的培養給予特別關注.首先探討了情感與態度對教學學習的意義,進而從教師的積極作用,學生的學習興趣的培養,數學研究的價值和必備的品質以及數學與科學精神、世界觀的形成五個方面具體闡述數學教學中學生情感與態度的培養途徑
（2）數學教學活動中，教師要有感情地教，學生才會有感情地學。教師可以借助生活體驗創設學習數學的情景，通過實驗操作創設學習數學的情景；教師可揭示數學本身的內在美，發展學生學習數學的情感；通過增強數學探究意識，深化學生學習數學的情感。教師應用風趣、幽默、富有情趣的言語講解相關教學內容，數學課堂應提示數學知識背后隱藏著的人物軼事，將數學知識與人有血有肉、有情有感的創造性活動聯系起來，會使學生對數學內容產生親切感。
（3）中職數學情感教學策略的實施，盡量讓學生在學習過程中，多獲取成功的喜悅，激發他們的學習興趣，提高學習過程中的自信心，要有利于他們對知識的消化，理解和運用，一切都要易而漸難，由淺入深，讓學生對知識始終處于可望、可及、有收獲、想進取的積極學習狀態
本研究的重點、難點:中職數學情感教學策略的實施
論文的框架結構:
提出研究中職數學情感教學策略意義，查閱文獻，分析前人研究成果和方法，提出中職數學情感教學構思通過舉例研究方法進行研究統計分析數據，得出中職數學情感教學的益處分析及實施方案。
研究進度或計劃
1、4周研究國內外相關研究綜述、存在的不足。查閱大量文獻資料
2、2周明確本研究命題的初步框架結構，
數學概念是數學思維的細胞，是形成數學知識體系的基本要素，是數學基礎知識的核心。數學定理、公式和方法都是反映數學對象和數學概念間的關系，只有具有正確明晰的概念，才能牢固的掌握基礎知識。同時，在深入理解數學概念的過程中使得學生的抽象思維得到發展。在教學過程中，學生學習概念有一個準備過程，這個過程就稱為“概念的引入”。
一、從與概念有關的趣事引入
興趣可以喚起某種動機，興趣可以培養人的意志，改變人的態度，引導學生成為學習的主人。因此我們在備課時要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關本節概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學生注意力，調動其積極思維，使學生既對概念感興趣，又大致了解這個概念的知識用途。
舉例說明：介紹“點的軌跡”。老師事先準備好一段麻繩和一個彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉。這樣一來，學生注意力一下子被吸引，并且表現出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學生解釋剛才的現象。學生的思維被調動起來。在對學生的解釋作出評價后，引出課題“點的軌道”然后引導學生結合生活中常見的“點的軌道”現象給下定義。這樣，一個抽象的概念就在有趣的實驗中得到充分的展示，學生對于點的軌跡也有了形象的理解。從實物引入概念，反映了概念的物質性、現實性，符合認識規律，給學生留下的印象比較深刻持久。
二、問題引入
波利亞說過：問題是數學的心臟。先提出一個典型問題，讓學生動腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學生對概念的理解更加深入。
舉例說明：按比例分配的概念。在學習按比例分配時，老師可以提出這樣的問題：“同學們，今天老師帶了12個乒乓球作為禮物送給3個同學，應該如何分配？”“平均分?！薄凹偃绨堰@12個乒乓球作為獎品，獎給在運動會中獲得一二三等獎的同學，又該如何分配呢？”在學生積極思考后，老師可以說：“其實，在我們的日常生活、工農業生產、經濟建設等各項工作中，都會遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學生在思考的過程中加深對概念的理解！
三、舊知引入
中國古典小說，在每章節末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------?！倍潭痰膸拙湓挘邢葐⒑螅暯幼匀?，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。
舉例說明：幾何概念的貫穿。在學習幾何知識時，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結構，且用數量關系、位置關系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認知結構中去。比如還可以在已經學習了“平行四邊形”的概念的基礎上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學生已有的知識經驗，以定義的方式給出，讓學生主動地與自己的頭腦中原有的知識相互聯系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。
四、聯系實際引入
新課程標準要求：“數學教育應努力激發學生的學習情感，將數學與學生生活、學習聯系起來，學習有活力的、活生生的數學”。那么，用生活中的實際例子來引入數學概念，聯系生活實際講數學，把生活經驗數學化，把數學問題生活化，更有利于學生掌握和理解概念。
舉例說明：比例的意義與性質。老師說：“同學們，我們已經學習了比，在我們人體上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計算的，今天我們就來研究比例的意義和性質。”老師選取一些生動形象的實際例子來引入數學概念，既可以激發學生的學習興趣和學習動機，又符合學生由感性到理性的認識規律。
五、通過類比引入
根據新舊知識的連結點、相似點，采用類比的方法引入概念。數學有著嚴密的科學體系，數學知識的連貫性很強，多數概念都產生于或者發展與相應的原有知識的基礎上，所以用類比引入新概念有利于學生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養學生的探索發現能力。
舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數的等式；不等式：表示兩個數或兩個代數式不相等的算式。（2）類比“分數”和“分式”：分數：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。分母表示把一個物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導入自然，使學生能從類推中促進知識的遷移，發現新知識，從而掌握新知識。
參考文獻
由于學校數學教學的影響，這些權威性的論斷和流行的看法，竟被認為是正確的!但是一般人忽視數學的觀點仍然是錯誤的。數學學科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方標題是本文譯者加的，副標題為原標題面：它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。
技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。如果我們對數學的本質有一定的了解，就會認識到數學在形成現代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。
因此，讓我們看一看20世紀人們對這門學科的態度。首先，數學主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準確地表述出作為推理基礎的公設。具有極其嚴密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設出發，推導出結論。數學的這一特征由17世紀一位著名的作家在論及數學和科學時，以某種不同的方式表述過：“數學家們像戀人?！姓J一位數學家的最初的原理，那么他由此將會推導出你也必須承認的另一結論，從這一結論又推導出其他的結論?！?/p>
僅僅把數學看作一種探求的方法，就如同把達?芬奇“最后的晚餐”看作是畫布上顏料的組合一樣。數學也是一門需要創造性的學科。在預測能被證明的時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象。例如，牛頓和開普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統，而且建立了新的、革命性的概念。在數學中，人的創造能力運用的范圍，只有通過檢驗這些創造本身才能決定。有些創造性成果將在后面討論，但這里只需說一下現在這門學科已有八十多個廣泛的分支就夠了。
如果數學的確是一種創造性活動，那么驅使人們去追求它的動力是什么呢?數學最明顯的、盡管不一定是最重要的動力是為了解決因需要而直接提出的。商業和金融事務、航海、歷法的、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰武器和工事的設計，以及許多其他的人類需要，數學能對這些問題給出最完滿的解決。在我們這個工程，數學被當作普遍工具這一事實更是毋庸置疑。數學的另外一個基本作用(的確，這一點在現代特別突出)，那就是提供現象的合理結構。數學的概念、方法和結論是物的基礎。這些學科的成就大小取決于它們與數學結合的程度。數學已經給互不關聯的事實的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯系的有機體，并且還將一系列彼此脫節的觀察研究納入科學的實體之中。
智力方面的好奇心和對純思維的強烈興趣，激勵許多數學家研究數的性質和幾何圖形，并且取得了富有創造性的成果。今天很受重視的概率論，就開始于牌賭中的一個問題——一場賭博在結束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個與社會需要或科學沒有什么聯系的最突出的成就，就是由古代希臘人創造出來的，他們把數學轉變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統。事實上，數學學科中一些最偉大的成就——射影幾何、數論、超窮數和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內容——都是為了解決純智力的挑戰。
進行數學創造的最主要的趨策力是對美的追求。羅素，這位抽象數學思想的大師曾直言不諱地說：數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。
除了完善的結構美以外，在證明和得出結論的過程中，運用必不可少的想象和直覺也給創造者提供了高度的美學上的滿足。如果美的組成和藝術作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應達到目的的手段，那么數學就是一門具有其特有完美性的藝術。
盡管已清楚地表明，上述所有因素推動了數學的產生和，但是依然存在許多錯誤的觀點。有這樣的指責(經常是用來為對這門學科的忽視作辯解的)，認為數學家們喜歡沉湎于毫無意義的臆測;或者認為數學家們是笨拙和毫無用處的夢想家。對這種指責，我們可以立刻作出使其無言以對的駁斥。事實證明，即使是純粹抽象的，更不用說由于和工程的需要而進行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發現二干多年來，曾被認為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在天文學、仿射運動和萬有引力定律中發揮了作用。
另一方面，一些“具有頭腦”的作家斷言：數學完全或者主要是由于實際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達和飛機而產生或發展的。這種斷言也是錯誤的。數學已經使這些對人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數學家在進行思考和研究時卻很少把這些放在心上。有些人對實際漠不關心，這可能是因為他們成果的應用在幾百年后才實現。畢達哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數學玄想，比起貨棧職員采用“+”號和“一”號的實際行動來(這曾使某一作家深信“數學史上的一個轉折點乃是由日常的社會活動所致”)，所作的貢獻要大得多。確實，幾乎每一個偉大的人物所考慮的都是他那個的，流行的觀點會制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會成為一位出色的神學家。偉大的思想家追求時代智力風尚，就如同婦女在服飾上趕時髦一樣。即使是把數學作為純粹業余愛好的富有創造性的天才，也會去研究令專業數學家和科學家感到十分激動的問題。但是，那些“業余愛好者”和數學家們一般并不十分關心他們工作的實用價值。
實用的、科學的、美學的和的因素，共同促進了數學的形成。把這些做出貢獻、產生的因素中的任何一個除去，或者抬高一個而去貶低另外一個都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對的重要性。一方面，對美學和哲學因素作出反應的純粹思維，決定性地塑造了數學的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻。另一方面，數學家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會力量的推動。如果這些力量不能為數學家們注入活力，那么他們就立刻會身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門學科處于孤立的境地。雖然在短時期內還有可能光芒四射，但所有這些成就會是曇花一現。
數學的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數學也用符號表示數量關系和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習俗的產物，也是社會和運動的產物，而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的、憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，數學家們就可以表達和研究數學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數符號，在下面一段描寫中，盡管與數學無關，卻清楚地表現了數學的實用性和明了性：
當一個12世紀的青年墮入情網時，他不會后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對他說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個小伙子——姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個人的——對第二個小伙子來說的另外一個。因為另外一個小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。
簡潔的符號能夠使數學家們進行復雜的思考時應付自如，但也會使門外漢聽數學討論如墜五里云霧。
數學語言中使用的符號十分重要，它們能區別日常語言中經常引起混亂的意義。例如，中使用“is”一詞時，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(Heishere)這個句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關的屬性。在“那個人正在跑”(manisrunning)這個句子中，這個詞"is”表示的是動詞時態。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)這個句子中，is的形式被用于表示數字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)這個句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當然，在一般日常會話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因為盡管有這些意義上的混亂，人們也不會因此產生什么誤會。但是，數學的精確性——它與和的精確性一樣，要求數學領域的者們更加謹慎。
數學語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習慣于它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個數學家說：“今天我沒看見一個人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一個人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認為他一個人也沒看見。數學的這種精確性，在一個還沒有認識到它對于精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過于呆板，過于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的數學風格以簡潔和形式的完美作為其目標，但有時由于過分地拘泥于形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達到的清晰。假定我們想用一般術語表述圖1所示的，我們很有可能說：“有一個直角三角形，畫兩個以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫一個以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個正方形的面積就等于前面兩個正方形面積之和?！钡菦]有一個數學家會用這樣的方式來表達自己的想法。他會這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@種簡潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數學表達式具有重要的意義，因為它的確是言簡意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數學的讀者有時會發現自己的耐心受到了極大的考驗。
數學不僅是一種、一門或一種語言。數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對科學家、科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時著家和神學家的學說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙的冥想;甚至可能有時以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著的進程。
數學是一門知識體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點卻認為數學是無可辯駁的真理的匯集，認為數學就像是信仰《圣經》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數學家們也贊同這種謬論。幸運的是，19世紀發生的一些數學事件(這些我們隨后將進行討論)向這些數學家表明，這種看法是錯誤的。在這門學科中沒有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個世紀創立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒有真理，數學卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個最大的悖論將是我們所關注的課題之一。
由于20世紀必須將數學知識與真理區分開，因此也必須將數學與區分開，因為科學確在尋求關于物質世界的真理。然而數學卻無疑地是科學的燈塔，而且還繼續幫助科學獲得在文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由于有了數學，現代科學才取得了輝煌的成就。但是我們將會看到，這兩個領域有著明顯的區別。
在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地人類的物質、道德和生活;試圖回答有關人類自身存在提出的;努力去理解和控制;盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。在本書中，我們最為關心的將是這種精神的作用。
數學還有一個更加典型的特征與我們的論述密切相關。數學是一棵富有生命力的樹，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時起，就為自己的生存而斗爭，這場斗爭經歷了史前的幾個世紀和隨后有文字記載的幾個世紀，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩了生存的根基，并且在一個較短的時期里茁壯成長起來了。在這個時期，它綻出了一朵美麗的花——歐氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細觀察，還可以看到三角和代數學的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。
這就是數學那時的狀況。后來這棵樹被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時期曾有過的旺盛的生命力，而且準備開創史無前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀以前所了解的數學稱為初等數學，那么我們能說，初等數學與從那以后創造出的數學相比是徽不足道的。事實上，一個人擁有牛頓處于頂峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一位數學家。因為與普通的觀點相反，現在應該說數學是從微積分開始，而不是以之為結束。在我們這個世紀，這門學科已具有非常廣泛的，以致沒有任何數學家能夠宣稱他已精通全部數學。
數學的這幅素描，盡管簡略，但卻表明數學的生命力正是根植于養育她的文明的社會生活之中。事實上，數學一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續到公元前300年。由于古希臘數學家強調嚴密的推理以及由此得出的結論，因此他們所關心的并不是這些成果的實用性，而是人們去進行抽象的推理，和激發人們對理想與美的追求。因此，看到這個具有很難為后世超越的優美文學，極端理性化的，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。
數學創造力的缺乏也表現在一個時代文明的文化里，這一點也是真實的?？纯戳_馬的情況吧。在數學史上，羅馬人在一定時期內曾作出過貢獻，但從那以后他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數學家和科學家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當時他正在畫在沙盤中的幾何圖形。對此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說過：阿基米德死于一個羅馬士兵之手，是一個世界發生頭等重要變化的標志;愛好抽象科學、善長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實用的羅馬取代了。洛德?比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實用的人稱為是重復其先輩錯誤的人。羅馬是一個偉大的民族，但是他們卻由于只重實用而導致了創造性的缺乏。他們沒有發展其祖先的知識，他們所有的進步都局限于工程技術的細枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀點的夢想家，這些新觀點能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個羅馬人因為沉湎于數學圖形而喪命。
關鍵詞：激發興趣、運用類比、巧設問題
思維能力是一切能力的核心，它是通過對事物的感知、表象進行分析、概括、歸納而獲得事物本質的能力。一個人的思維能力強弱，不僅與知識理論、水平有關，而且與思維方式有關。在數學教學中，學生思維能力的培養至關重要，我在數學教學的實踐中，從以下幾方面加強了培養學生數學的思維能力，并收到了較好成效。
一、激發學生的學習興趣，啟迪學生的思維
興趣是學生學習的直接動力，它是求知欲的外在表現，它能促進學生積極思考，勇于探索。
1、用實踐操作喚起學生的興趣
教師在教學實踐中動手操作或讓學生自己動手操作，最能喚起學生的興趣，保持學生穩定的注意力。如在推導圓柱體的體積公式時，我通過讓學生自己推導將一個圓柱體拼割成一個近似的長方體，并讓學生掌握了圓柱體的體積公式后，我要求學生認真觀察教師的推導過程，并讓學生觀察將一個圓柱體拼割成一個近似的長方體后，這個近似的長方體的體積、表面積同原來的圓柱體的體積及表面積相比是否發生變化。在學生掌握了圓柱體的體積公式后，我出示了這樣一道題目：“將一個圓柱體拼割成一個近似的長方體后，這個近似的長方體的表面積比原來增加了40平方厘米，已知這個長方體的高為1分米，求這個圓柱體的體積是多少立方厘米?”學生由于剛剛自己動手推導圓柱體的體積公式，因此很快可以求出這個圓柱體的底面半徑為：40÷2÷10＝2（厘米），這個圓柱體的體積為：3.14×2×2×10＝125.6（立方厘米）。
2、讓學生在實踐中提高學習興趣并獲得知識
在小學數學教學中讓學生進行實踐是有效提高課堂教學的一種重要手段。如教學了行程問題后，我出示了這樣一題：“已知客車每小時行60千米，貨車每小時行50千米。現在兩車同時從相距200千米的甲、乙兩地同時出發，經過2小時兩車相距多少千米？”
由于題中未說明行駛方向，所以兩車出發2小時，兩車相距的路程應是多少并無一個標準，因此，我組織兩個學生在教室中按四種情況進行了演示：1、兩個學生同時相向而行；2、兩個同學同時相背而行；3、兩個學生同時向同一方向而行，走得快的同學在前；4、兩個學生同時向同一方向而行，走得慢的同學在前。因此我再啟發學生，這道題應該如何進行解答。這樣，學生很快到，這道題應分以下四種情況進行討論
（1）、兩車同時相對而行，相遇后又拉開距離：（60＋50）×2－200=20（千米）。
（2）、兩車同時相背而行：（60＋50）×2＋200＝420（千米）
（3）、兩車同向而行，客車在前面貨車在后面：60×2＋200－50×2＝220（千米）
（4）、兩車同向而行，貨車在前面客車在后面：50×2＋200－60×2＝180（千米）。
二、運用類比方法，培養學生創新思維
類比方法是根據兩類物質之間一些相似性質從而推導出其它方面也類似的推理方法，在數學教學中運用類比是一種非常重要的方法。
1、運用比較辨別，啟迪學生思維想象
如在教學了數的整除的知識后，我出示了這樣一道例題：“一個大于10的數，被6除余4，被8除余2，被9除余1，這個最小是幾？”應該說這道題是有一定的難度的，學生求解會感到無從下手，這時，我出示了這樣一題比較題：“一個數被6除余10，被8除余10，被9除余10，這個數最小是幾？”這道題學生很快能求出答案：這個數即是6、8和9的最小公倍數多10，6、8和9的最小公倍數為72，因此這個數為：72＋10＝82；然后我引導學生將上面一道例題與這道比較題進行比較和思考，學生很快知道，上道題只要假設被6除少商1余數即為10，被8除少商1余數也為10、被9除時少商1余數也為10，因此可迅速求得這個數只要減去10，就同時能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍數為72，因此這個數為：72＋10＝82。這樣通過讓學生展開聯想和比較，不但可以提高學生的想象能力，同時也能提高學生的創新思維能力。
2、通過分析歸納，培養學生創新思維
又如在教學完了平面圖形的面積計算公式后，我要求學生歸納出一個能概括各個平面圖形面積計算的公式，我讓學生進行討論，經過討論，學生們歸納出，在小學階段學過的面積公式都可以用梯形的面積計算公式來進行概括，因為梯形的面積計算公式是：（上底+下底）×高÷2。而長方形、正方形、平行四邊形的上底和下底相等，即可將這公式變成：底（長、邊長）×高（寬、邊長）×2÷2=底（長、邊長）×高（寬、邊長）；又因為將圓面積公式是根據長方形的面積公式推導出來的，因此，梯形的面積公式對圓也同樣適用；當梯形的上底是零時，即梯形成了一個三角形，這時梯形的面積公式成了：底×高÷2。這即成了三角形的面積公式。這樣，不僅使學生能熟練掌握已學過的平面圖形的面積公式，同時，也培養和提高了學生的創新能力。
三、巧設探索性問題，培養學生創新思維
現代心理學認為：為教學時應設法為學生創設逼真的問題情境，喚起學生思考的欲望。在教學實踐中，我們如能讓學生置身于逼真的問題情境中，體驗數學學習與實際生活的聯系，學生也會品嘗到用所學知識解釋生活現象以及解決實際問題的樂趣，感受到借助數學的思想方法，會真正體會到學習數學的樂趣。因此，在教學實踐中，我盡量做到在數學教學過程中加強實踐活動，使學生有更多的機會接觸生活和生產實踐中的數學問題，認識現實中的問題和數學問題之間的聯系與區別。
1、設計開放性習題，讓學生在實踐中提高創新思維。
如在教學了百分數應用題后，我出示了這樣一題：張教老師欲購買一臺筆記本電腦，為了盡可能少花錢，他考察了A、B、C三個商場，他想購買的筆記本電腦三個商場都有，且標價都有是9980元，不過三個商場的優惠方法各不相同，具體如下：
A商場：全場九折。
B商場：購物滿1000元送100元。
C商場：購物滿1000元九折，滿10000元八八折。
張老師應該到哪個商場去購買電腦？請說明理由。
這道題顯然不同于一般的應用題，因此我啟發學生，應該充分考慮如何才能做到盡可能少花錢這一個特定的條件去進行分析與解答。學生進行了認真的分析和討論，最后得出如下的結論：
因為每臺電腦的價格均為9980元，而去A商場是全場九折，因此張老師如果去A商場購電腦，那么張老師應該付：9980×90%＝8982（元）。
因為B商場是購物滿1000元送100元，張老師如果只買電腦，需付：9980－900＝9080（元）；張老師如果再買其它的物品湊滿10000元，需付：10000－1000＝9000（元）。
因為C商場是購物滿1000元九折，滿10000元八八折，張老師在C商場購買電腦時，只要再多買20元物品，即湊滿10000元，最多需付：10000×88%＝8800（元）。
因此，張老師去C商場購電腦花錢最少。
2、培養學生打破傳統的思維模式，開啟學生創新思維大門
創新思維的培養，要讓學生敢于打破傳統的思維模式，對一些問題提出具有獨特的的、富有說服力的新觀點和新境界，開啟學生的創新思維大門。
如教學了“長方體和正方體的體積”后，我出示了這樣一題：“一個長方體水箱，從里面量，長40厘米，寬25厘米，高20厘米，箱中水面高10厘米。如果在長方體水箱中放進一個長和高都為20厘米，寬為10厘米的長方體鐵塊，那么水面將上升多少厘米？
這道題大部分同學都只想到將以20×20作為底面放進水箱中這一種情況，這時鐵塊全部浸沒在水中，這時候水面上升的高度即為：20×20×10÷（40×25）＝4（厘米）。但還有另一種情況，即不是將20×20作為底面，而是以20×10作為底面放進水箱中的這一種情況，同學們卻忽略了。這時我向學生進行了演示：我將一塊鐵塊按未曾全部浸沒在水中的情況進行了演示，并啟發學生除了將以20×20作為底面放進水箱中這一種情況，還有沒有其它的情況，學生通過觀察并進行了討論，認識到還要考慮到另一種情況，即以20×10作為底面放入水中，因此很快得出結論，如果以20×10作為底面放進水箱中，這時候鐵塊沒有全部浸沒在水中，這時水面上升的高度應該為：
40×25×10÷（40×25－20×10）－10＝2.5（厘米）。
或者用方程進行求解。設水面上升X厘米，則可得方程：
以創設情境為主線，根據教材的特點、教學的方法和學生的具體學情，把學生引入一種與問題有關的情境中，讓學生通過觀察，不斷積累豐富的感性認識，讓學生在實踐感受中逐步認知，發展，乃至創造，以提高學生的數學素質。在數學課堂教學中情境教學的運用，可以達到提高學生的數學素質的目的。教育學家烏申斯基說：沒有絲毫興趣的強制學習，將會扼殺學生探求真理的欲望。興趣是學習的重要動力，也是最好的老師。在實踐中，我經常巧妙地創設情境，引導學生從害怕數學到愛學數學，提高學生學習數學的興趣，取得了事半功倍的效果。如常常用實際問題或設置懸念導入新課來激發學生的求知欲；或者在教學過程中為研究需要而臨時產生一些嘗試性的研究活動，以及在教學過程中，學生提出了意想不到的觀點或方案等。顯然，關鍵在教師要創設好問題情境，必須要從學生的學習興趣出發，
要從知識的形成過程出發，要貼近學生生活，要帶有激勵性和挑戰性。只有這樣，才能引發學生的自主性學習，使學生的認知過程和情感過程統一起來。
2.自主探究，建構新知
“以學生的發展為本”是新課程理念的最高境界，要發展學生智力，培養學生能力，教師在教學過程中，始終把學生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學、教學目標的確定、教學過程的設計、教學方法的選用等等工作，都從學生的實際出發，要在課堂上最大限度地盡量地使學生動口、動手、動腦，極大地調動學生學習的積極性和主動性，養成良好的自學習慣，培養刻苦鉆研精神。促進學生主動參與、主動探索、主動思考、主動實踐。如果創設的情境達到了前面的要求，那么學生會自然地產生一種探究的欲望。教師只要適當地組織引導，把學習的主動權交給學生，讓學生自主地嘗試、操作、觀察、動手、動腦，完成探究活動。因為學生是信息加工的主體，是意義的主動建構者，教師是學生意義建構的幫助者、促進者。
3.合作交流，完善認知
