時間：2023-06-20 18:03:38
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在高中數學函數教學中運用數學思想方法，有助于學生構建完善的知識體系，提高學生解決問題的能力。文中根據高中數學教學例題，對高中數學函數教學過程中滲透分類討論、化歸、數形結合等思想，不斷提高學生的數學思維能力，為日后學習復雜的知識奠定堅實的基礎。
一、數學思想方法的涵義及其重要意義
數學思想方法是指針對某一數學問題的分析及探索過程，形成最佳的解決問題的思想，也為準確、客觀分析、解決數學問題提供合理、操作性強的方法。函數是高中數學的主要內容，也是考試的重點。高中數學學習過程中遇到函數的題目，復習時必須有針對性地了解高考常見命題和要點，重點進行復習，做到心中有數。將數學思想方法當做數學基礎知識也是新課標提出的，新課標規定在教學過程中，要重視滲透數學思想方法。高中數學函數教學中應用數學思想方法是推進全面素質教育的重要手段。目前，從歷年高考的試題來看，高考考試的重點是查看學生對所學知識的靈活應用及準確性。數學科目考查的關鍵點是學生數學思想方法及解題能力。因此，高中函數教學中應用數學思想方法發揮著重要作用。
二、高中數學函數章節中應用數學思想方法的策略
（一）函數與方程思想的應用
函數與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間卻存在著密切聯系，方程f（x）=0的根就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標。通過方程進行研究，許多有關方程的問題可以用函數的方法解決。反之，許多函數問題也可以用方程的方法解決。
解析：這是一道較典型的函數與方程例題，老師根據數學思想的要求傳授學生解題方法，也可以依據這一道例題對其他相關例題的解題方法進行概括性講授，確保學生遇到這類題目可以快速、準確地找出解題方法。
本例題構造出函數g（x），再借助函數零點的判定定理解題非常容易。這道例題展現出函數與方程的數學思想，實際解題時我們一般會構造一個比較熟悉的模式，從而將不熟悉的問題轉化為所熟悉的問題進行思考、解答。另外，我們還可以利用函數的圖像和性質，用二分法求方程近似解的方法，從中體會函數與方程之間的聯系，對拓展學生學習的深度和廣度具有重要意義。
（二）數形結合思想的應用
數形結合作為數學解題中比較常見的思想方法，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。
解析：數形結合思想是數學教學的重要思想之一，主要包括“以形助數、以數輔形”這兩方面的內容，求解幾何問題也是研究數形結合的重要手段。同時，在求解方程解的個數及函數零點問題中也能應用。以形助數和以數輔形可以讓繁雜的問題變得更直觀、形象，增強數學問題的嚴謹性和規范性。因此，某些問題從數量關系觀察無法入手解題時，如果將數量關系轉變為圖形，運用圖形的性質規律更直觀地描述數量之間的關系，從而將復雜的問題變得簡單。因此，對部分抽象的函數題目，數學教師應正確引導學生運用數形結合的思想方法，使得解題思路峰回路轉，變得清晰、簡單。
（三）化歸思想的應用
化歸思想是指將抽象、復雜的數學問題轉化成簡單、熟知、直觀的數學問題，提高解決問題的速度和準確性。函數章節中多數問題的解決都離不開化歸思想的應用，其中化歸思想是分析、解決問題的基本思想，從而提高學生的數學思維能力。
解析：這一例題解決過程將x0展現出化歸的數學思想。化歸是一種最基礎、最重要的數學思想方法，高中數學老師必須熟悉化歸思想，有意識地利用化歸思想解決相關的數學問題，并將這種思想滲透到學生的思想意識中，有利于增強學生解決數學問題的應變能力，提高學生的數學思維能力。
（四）分類討論思想的應用
分類討論思想就是依據數學對象本質屬性的共同點與不同點，把豎向對象劃分成多個種類實施求解的一種數學思想。高中數學函數章節教學中使用分類討論思想方法，有利于學生形成縝密、嚴謹的思維模式，養成良好的數學品質。解決數學函數問題時，如果無法從整體角度入手解決問題，就可以從局部層面解決多個子問題，從而有效解決整體問題。
分類討論就是對部分數學問題，當所給出的對象不能展開統一研究時，必須依據數學對象本質屬性的特點，把問題對象劃分為多個類別，隨之逐類展開討論和研究，從而有效解決問題。高中數學函數教學中，經常根據函數性質、定理、公式的限制展開分類討論，問題內的變量或包含需要討論的參數時，必須實施分類討論。高中數學教學中，必須循序漸進地滲透分類思想，在潛移默化的情況下提高學生數學思維能力和解決問題的能力。
解析：本例題可以借助二次函數圖像解決，展現出分類討論的思想，討論對稱軸x=a與區間[0，2]的位置關系。對復雜的問題進行分類和整合時，分類標準與增設的已知條件相等，完成有效的增設，把大問題轉換成小問題，優化解題思路，降低解決問題的難度。分類討論教學方法要求將各類情況各種結果考慮其中，依次研究各類情況下可能出現的結果。求解不等式、函數和導數是考查分類討論思想的難點，為確保突出重點，日常教學中必須對學生滲透分類討論思想方法。
三、結語
高中數學函數章節是整個數學教學的重要部分，對其日后學習高等函數發揮著重要作用。高中數學函數知識涵蓋多種數學思想方法，數學思想方法是解決數學問題的鑰匙和重要工具，因此數學老師必須對函數實施合理教學，讓學生更全面地掌握數學思想方法，從而提高學生的綜合思維能力。
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）30-203-01
很多初中生在步入高中階段后回來向筆者反映，在數學學習方面跟不上節奏、進不了狀態，尤其是成績比較好的學生表現的更加明顯。他們逐漸陷入數學神秘莫測的幻覺，產生畏懼感，動搖了信心，甚至失去了學習的興趣。根據筆者初中、高中兩個階段的教學經歷和經驗分析，造成這種現象的原因是多方面的，最主要的原因還在于初、高中數學教學銜接上，下面我就這個問題談談在教學中的兩點認識。
一、基礎知識、思想方法的“斷點”銜接
隨著高中的學習慢慢深入，大量的作業也鋪天蓋地地來了，同時所牽扯到的方法和知識一下子多了起來，初中剛畢業的學生很容易被嚇倒，原來學習的信心和興趣和學習熱情被扼殺。由于初中全面推行新課程標準數學教材實驗，而高中數學新課程改革相對滯后，造成了初高中數學內容上存在過渡問題，其中主要的問題在于數學基礎知識和數學的基本思想方法不銜接，出現“斷點”。 因此初中新課程標準下的數學教材在高一數學教學補充以下內容及思想方法：
1、數和式
（1）立方和（差）公式、平方和（差）公式。在必修1單調性的證明時要求學生能夠掌握；和（差）的立方公式，它是二項定理的最佳接洽點，也即是二項定理最直接的推廣。
（2）十字相乘法和分組分解法。尤其是十字相乘法，它是解一元二次方程最快的方法，同時也就是解一元二次不等式的最快的方法。涉及“分組分解法因式分解”.初中課標、教材中已不作要求。
（3）二次根式：適當補充相當的運算。如整體運算等。
2、方程
可化為一元二次方程的高次方程、分式方程和無理方程。這部分初中教材刪除了。同時也就刪除了用換元法解分式方程和無理方程中的平方關系和倒數關系；刪除了換元法；刪除了解方程的基本思想方法：降次；分式轉整式；無理轉有理的重要思想方法。一元二次方程根與系數的關系。補齊公式只需三五分鐘，但它同時也缺乏整體運算的思想方法，缺設而不求的思想，而這些思想方法在高二的解析幾何：直線和二次曲線的關系中應用極大。當然也就缺少機會強調一元二次方程根與系數的使用條件。
3、函數
二次函數所學內容有：定義，平移，基本性質，應用最值解答實際問題。應補充三個二次的關系和二次函數在給定區間上的最值。當然拓展到 “含參”在給定區間的分類討論――“定軸動區間”和“動軸定區間”；二次方程的根的分布以及二次函數的其他性質，相應的可安排在函數性質學習完后，插到指數函數前學習。
4、證明
現行教材中“證明”的內涵與以前有所差別：現行初中數學教材中 “證明”是一個局部的公理化體系，它是從4條“基本事實”出發，證明40條左右的結論，除此之外的知識一般不在“證明”部分涉及。即使等式的性質、不等式的性質有的初中課標教材也不把它作為證明的依據，涉及的內容僅僅局限于“相交線與平行線”、“三角形”、“四邊形”。而高中數學教材中，凡是學過的知識幾乎都可以作為“證明”的依據.
初三學生數學計算能力、邏輯推理的能力、思維的深刻性和思維的嚴謹性等都較差。但他們在應用數學知識解決實際問題、探究與發現、合作與交流等多方面很優秀。因此，在初中教學中，要著力提高學生計算、推理等方面的能力，養成學生良好的思維習慣；而在高一教學中則要充分應用其優點，適時、適當補其知識和能力的不足。
二、教法和學法“斷點”的銜接
課堂教學是師生的互動。初中畢業生一開始總覺得課堂簡單，要求有挑戰性問題、作業馬虎、課堂亂喊愛表現，此類男生居多；對數學有畏懼心理，不是很自信，此類主要是女生；不預習，不及時復習當天的知識就開始盲目地做題；有的學生不能很快地適應高中的教學模式，更多的是不能適應高中的老師；有的學生認為老師不夠親切太嚴厲，說話聲音小，板書有點小，語速太快……這些習慣上的“斷點”如果不能很好的解決，對高中學習進步會有很大的影響。
對此，首先要讓學生了解高中數學的特點，明確高中數學的學習方法，端正學習的態度。要把對學生加強學法指導作為教學的重要任務之一。指導要以培養學習能力為七點，狠抓學習基本環節，不要要求學生干什么、而是引導他們怎么干。具體措施有三：一是寓方法指導于知識講解、作業講評、試卷分析等教學活動之中，這種形式貼近學生學習實際，易被學生接受；二是舉辦系列講座，介紹學習方法；三是要求學生寫數學學習日記，及時總結反思。要求學生端正學習態度，養成良好的學習習慣，調節自身學法，以盡快適應高中數學教學。其次，教師也要根據學生實際隨時調節教學方法。在高一，教師可適當降低要求，循序漸進，逐步提高。老師要先給學生搭個梯子，做個示范走一遍，再扶著他們慢慢自己摸索，直到學生能夠自己不斷的向高處攀登。不能開始就“撒手”，讓學生摔得很慘。
很多老師把高中的學生出現的問題推到初中的數學教育，我們應該明白一點，高中的教育更多的是提高撥優的教育不再是“義務基礎教育”，在這個過程中勢必要淘汰掉一部分。說起來有點殘酷，但這就是事實。新課改強調要注重學生的基礎，注意螺旋式地上升。如何“引導學生做好過渡階段的學習”是一個很有研究價值課題，作為老師也要多多找找自己的原因。參考文獻：
在必修3中第一章算法是獨立的一章，看似與傳統數學內容的聯系很少，因此教師在教學中容易將它孤立起來，機械地、照本宣科地實施教學任務，教完后不會像函數、方程、數列那樣在后續的教學中重復出現。學生常常是在高一新授課時利用兩周學完，在高三復習的最后階段做兩套練習，此外就極少再接觸到算法，有些學生及教師將算法比喻成“雞肋”，食之無味，可有可無。
《普通高中數學課程標準》寫到“算法是一個全新的課題，已經成為計算機科學的重要基礎，它在科學技術和社會發展中起著越來越重要的作用。算法的思想和初步知識，也正在成為普通公民的常識。在高中數學必修課程中將學習算法的基本思想和初步知識，算法思想將貫穿高中數學課程的相關部分。”由此可見，不能孤立地教學算法，要使學生將算法的核心思想融入到已有的認知結構中去。結構主義也提出：學科教育的實質是使學生理解學科的基本結構，建立新知識和原有知識之間的聯系。
二、數學的算法如何和信息技術的算法整合
如何整合數學的算法和信息技術的算法，將兩者有機地結合起來，使得算法課既有數學味，又不失計算機的特色，這是困擾中學教師的又一個問題。
《標準》明確指出：“在本模塊中，學生將在義務教育階段初步感受算法思想的基礎上，結合對具體數學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程；體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力。”可見數學的算法和信息技術的算法是不同的。信息技術的算法即編程，是一項浩大的工程，通常要涉及大量細碎的技術問題。數學的算法不會讓學生過多地糾纏于程序的調試和實現，而是要讓學生感受算法的思想，理解算法的“算理”。
當然數學的算法也不可能完全脫離計算機的技術，教學中也要讓學生體會算法的程序性、明確性、有限性等特點。必須幫助學生認識計算機工作的一些基本原理。
三、算法思想如何自然地在高中數學教學中滲透
《標準》要求“算法的思想方法應滲透在高中數學課程其他有關內容中，鼓勵學生盡可能地運用算法解決相關問題。”其實這個要求不過分，算法對學生來說并不陌生。從小學的四則運算所遵循的先乘除、后加減的規則，括號的處理規則，到初中的方程組的解法，高中的二分法求方程的近似解，數列、遞推數列求和都是算法的典型體現。幾乎每個問題的解決都對應一個算法，高中數學的教學需要讓學生站在較高的角度解決問題，算法思想的滲透和研究是必要的，這是每位高中數學教師都明白的。要學生很自然地認識到算法思想的重要性，使之成為學生的一種意識、一種思想、一種方法、一種工具，這也是教學過程中的重中之重。
四、突出算理，牢牢把握算法教學的重點
筆者認為首先必須明確算法的教學重點，算法的含義是“對一類問題的機械的、統一的求解方法”，其精髓是算理，算理具有概括性，它指向一類問題，以系列步驟為載體。因此教學的重點是突出算理，以教科書中提供的案例為載體，體會算法的基本思想，提高學生的邏輯思維能力，要防止將算法的教學變成程序語言和程序設計的教學。
教師應幫助學生理解和掌握數學基礎知識、基本技能,發展能力。
1.強調對基本概念和基本思想的理解和掌握
教師在教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握對一些核心概念和基本思想(如函數、空間觀念、運算、數形結合、向量、導數、統計、隨機觀念、算法等),要貫穿高中數學教學的始終,幫助學生逐步加深理解。由于數學高度抽象的特點,注重體現基本概念的來龍去脈。在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程,在初步運用中逐步理解概念的本質。
2.重視基本技能的訓練
熟練掌握一些基本技能,對學好數學是非常重要的。在高中數學課程中,要重視運算、作圖、推理、處理數據,以及科學計算器的使用等基本技能訓練。但應避免過于繁雜和技巧性過強的訓練。
3.與時俱進地審視基礎知識與基本技能
隨著時代和數學的發展,高中數學的基礎知識和基本技能也在發生變化,教學中要與時俱進地審視基礎知識和基本技能。例如,統計、概率、導數、向量等內容已經成為高中數學的基礎知識。
二、注重數學知識與實際大聯系,發展學生的應用意識和能力
在數學教學中,教師應注重發展學生的應用意識;通過豐富的實例引入數學知識,引導學生應用數學知識解決實際問題,經歷探索、解決問題的過程,體會數學的應用價值。幫助學生認識到:數學與我有關、與實際生活有關,數學是有用的,我要學數學,我能用數學。
在有關內容的教學中,教師應指導學生直接應用數學知識解決一些簡單問題。例如,運用函數、數列、不等式、統計等知識直接解決問題;還應通過數學建模活動引導學生從實際情景中發現問題,并歸結為數學模型,嘗試用數學知識和方法去解決問題;也可向學生介紹數學在社會中廣泛應用,鼓勵學生注意數學應用的事例。
三、改善教育學的方式,使學生主動地學習
豐富學生的學習方式,改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念。學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受,獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式。在高中數學教學中,教師的講授仍然是重要的教學方式之一,但要注意的是必須關注學生的主體參與,師生互動。教師在教學別應注意以下幾個方面。
1.高中數學的新增內容,教師要把握標準的定位進行教學,應努力提高自身的數學專業素質和教育科學素質。
2.在教學中,應鼓勵學生積極參與教學活動,包括思維的參與和行為的參與。既要有教師的堅守和指導,又要有學生的自主探索與合作交流。教師要創設適當的問題情景,鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑,使他們經歷知識形成的過程。
3.加強幾何直觀,重視圖形在數學學習中的作用,鼓勵學生借助直觀進行思考。在幾何和其它內容的教學中,都應借助幾何直觀,揭示研究對象的性質和關系。例如,借助幾何直觀理解圓錐曲線,理解導數的概念、函數的單調性與導數的關系等。
4.在數學教學中,學習形式的表達是一項基本要求,不能只限于形式化的表達,應注意揭示數學的本質。例如,有些概念(如函數)的教學是從已有知識和實踐出發,再抽象為嚴格化的定義。
5.對不同的內容,可采用不同的教學和學習方式。例如,可采用收集資料,調查研究等方式,也可采用實踐探索、自主探索、合作交流等方式,還可采用閱讀理解、討論交流、撰寫論文等方式。
6.教師應根據不同的內容、目標,以及學生的實際情況,給學生留有適當的拓展、延伸的空間,對有關課題做進一步探索、研究。例如,反函數的一般概念、概率中的幾何概型的計算等都可作為拓展、延伸的內容。
7.教師應充分尊重學生的人格和學生在數學學習上的差異,采用適當的教學方式,在數學學習和解決問題的過程中,激發學生對數學學習的興趣,幫助學生養成良好的學習習慣,形成積極探索的態度、勤奮好學、勇于克服困難和不斷進取的學風。
8.教師應不斷反思自己的教學,改進教學方式,提高自己的教學水平,形成個性花的教學風格。
三、要善于應用現代化教學手段
在我國傳統的數學教學中十分重視變式教學，正是因為應用了變式教學，我國中學生在基礎知識和基本技能方面遠遠超過了西方學生，可以說變式教學是具有中國特色的教學方法，但是我國學生在解答開放性問題及動手能力方面遜于西方學生.我國的專家學者對變式教學的理論研究比較多，實踐研究比較相對較少，對理論的研究大都停留在感性知識上，甚至在有些理論的認識上還模棱兩可，還有就是很少有高中教師能在教學實踐中深層次地剖析變式教學，因此，對變式教學的實踐探究就有非常重要的理論和實踐意義.下面筆者列舉數學教學案例就對變式教學的實踐談談體會.例如，與直線和圓錐曲線位置關系有關的問題是各級競賽及高考的熱點問題，同時也是考查學生數學綜合能力的主要載體，對相關問題的變式、探究是培養學生數學基本思想方法、形成數學能力的重要途徑.本文主要結合2013年全國數學聯賽的一道試題重點研究與直線和拋物線位置關系有關的度量問題及軌跡問題，其基本的思想方法可以類比到直線與其他二次曲線的問題中.
【評析】本題是2013年全國高中數學聯賽一試的一道填空題，題目內容簡潔清晰，以學生比較熟悉的拋物線及向量的數量積運算為背景，主要考查學生綜合運用坐標法和函數與方程的思想進行分析問題、解決問題的能力，題目本身容易上手，解題思路自然流暢.通過深入思考發現，本題內涵豐富，對相關問題的變式分析更是培養學生探究能力的一個很好的素材.
變式3：求坐標原點在直線AB上的投影的軌跡.
總之，變式探究學習模式在課堂教學實施中，就是在科學的教育理論指導下，借鑒科學家發明創造的思想方法和數學問題，通過創設一定的情境幫助學生主動投入多角度的解題教學中，對數學問題作多層面探究.首先，引導學生運用數學基本策略和方法發現和提出問題，并解決問題.其次，引導學生合作交流，開發學生潛能；讓學生在教師的指導下，理清知識結構，尋找科學有效的方法，對數學問題進行獨立探究和合作探究，歸納綜合，拓展創新，深層探究，發展學生的創新能力.
參考文獻：
數學思想所指的是，對于數學事實以及概念和理論的本質認識，這是對數學知識的一種高度概括。數學思想在數學認識活動中，它的具體反映和體現是數學方法，并且數學方法還是處理探索解決數學問題，以及實現數學思想的手段以及重要工具。在教學中，滲透數學這種思想方法，對于提高學生的綜合數學素質，起到的作用是不可替代的。對滲透數學這種思想方法的重視，對于教學取得成功是非常關鍵的。因此，在高中數學函數教學中滲透數學思想方法的研究是很有必要的。
一、集合思想
集合的定義是：一些特定的事物，它們所組成的整體，在這些事物中，它們中的每一個都被稱為這個集合的一個元素。我們可以把集合這種思想融入到高中函數教學中，增強學生的集體意識，還可以利用高中數學的重要特點，也就是嚴謹性，學會在邏輯用語中，盡力地教會學生，應該認真看清楚題目，充分理解題目的意思，而且還可以從題目中已經給出的條件，用來推敲出其他的條件，并且可以分析出來哪些是有幫助的，而哪些是沒有意義的。將那些有幫助的、會用到的條件歸為一個整體，為成功解題做好鋪墊。
二、方程與函數思想
方程與函數思想，可以說是高中數學函數的基本思想，在歷年的高考中也是經常出現，而且是重點和難點。目前所使用的高中教材，大部分是以知識結構作為編寫體系來進行的，并且這其中所蘊含的各種數學教學思想，還是見于整個教材之中，所以，對于大多數的學生來說，如果只側重于用一種方法來解答題目，不會做到舉一反三，很容易導致數學思想方法的主觀隨意性。函數思想的含義是：運用運動以及變化的觀點，可以來建立函數關系，或是構造函數，并且運用函數的圖像，以及性質去分析問題，或者是轉化問題，從而達到解決問題的目的；方程思想的含義是：分析數學教學問題中的各個變量間的等量關系，并據此建立方程，或者是方程組，也可以構造方程，并運用方程的各種性質去分析問題、轉化問題，進而解決問題。方程與函數的思想，在數學教學中，它非常強調對學生能力的培養，而且非常注重對學生的運算能力以及他們的邏輯思維能力的訓練，讓學生將他們所學的知識盡量都運用到生產以及生活中，運用到實際工作去，與此同時，還可以了解題的技能以及技巧，以及理解題目中蘊含的各種數學思想，使得學生會主動地將所學的知識應用于社會實踐中去。
三、化歸、類比思想
化歸、類比思想指對于需要解決的問題，將其轉化歸結為已有知識范圍內的，可解的問題的一種數學意識，簡單地說是將陌生化為熟悉，或者是將復雜化為簡單，也可以說是將抽象的問題，充分轉化為具體直觀的問題，更通俗的是將一般性的問題，經過轉化，成為直觀的、比較特殊的問題。而且，化歸、類比思想可以說是高中數學函數中最常見、最基本的思想方法，以至于函數中，幾乎一切問題的解決，幾乎是離不開化歸以及類比。在高考中，很大部分試題，它們條件與目標的聯系一般都不是顯而易見的，只有通過在不斷的轉化過程中，才有機會去發現題目所給條件與目標之間的聯系，因此歸結出來一個能夠解決問題的方法。
四、整形結合思想
數形結合思想的含義：在研究與解決數學問題的時候，可以將反映問題的比較抽象的數量關系，通過與直觀的平面以及空間圖形相結合起來進行思考，從而得出解決問題的辦法。圖形整合也是通過將抽象思維，與比較形象思維有機地結合起來解決問題，這是一種重要的數學解題方法。這種方法具有直觀性以及靈活性的特點。
五、結束語
數學思想在數學認識活動中，它的具體反映和體現是數學方法，并且數學方法還是處理探索解決數學問題，以及實現數學思想的手段以及重要工具。在高中數學函數教學中，具體而言它包括集合思想、方程與函數思想、化歸類比思想以及整形結合思想等。在教學中，滲透數學這種思想方法，對于提高學生的綜合數學素質，起到的作用是不可替代的。因此，在進行數學教學時必須積極進行數學思想方法的傳授。
參考文獻
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函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，是高中數學學科知識的重要組成部分，在各章節知識體系中具有橋梁和紐帶的作用，函數概念的產生標志著數學思想方法的改變，從常量數學轉成變量數學，函數的教學能夠使學生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯系與制約中的，從而了解事物的變化趨向及其運動的規律，對于培養學生的辯證唯物主義觀點、解決實際問題的能力是一個有效的工具。
一、數學思想方法的定義
數學思想方法是一種對問題的分析以及探索的技巧，是更好地解決問題的一種思路，同時也是為更好地分析及解決問題提供的一種有效的、具有很強可操作性的數學解題方法。
二、數學思想方法運用的重要意義
對數學思想方法的運用是全民推進素質教育的需要。全面地推進素質教育是在我國當代教育中比較重要的一項任務，從現在的高考試題來看，它重點考查的內容是學生對知識理解的準確性、深入性以及靈活運用的能力。對于學生的考查更加注重于數學思想方法以及數學能力，所以說數學思想方法在高中函數教學中的應用具有重要的意義。
三、函數
1.函數的概念
現代數學家對函數概念的定義方法大致可以分為四種：第一種就是把函數定義為具有某種函數特征的狀態，而不是定義函數本身；第二種就是把函數看成一種法則或者規律，按照事物的發展，對其以后發展的物質有著定量或者不定量的影響；第三種就是把函數解釋成一種對應關系，一種固定事物對應一種關系的關系；第四種就是把函數描述為一種特殊關系或者一種特定關系。通過不同的定義方法我們可以理解出不同的函數定義。函數作為數學中最基礎的概念之一，進一步分析后，可以比較清楚地了解到其中包括極限理論、積分數、微分過程及至泛函分析等。包括其他科目，比如物理學等也是以函數的基礎知識研究本學科的物質的變化歸路的，以函數為基本來研究和解決并作為解決問題的最終工具。這就充分證明了，函數本身就蘊藏著極其豐富的辯證思想。
2.函數的本質
迪爾卡提出“變量”一詞本身就是一種函數的表現形式。恩格斯評價說：“數學中的轉折點是迪爾卡的變量，有了變量，運動進入數學；有了變量，辯證法進入了數學；有了變量、微積分和積分也就立刻成為必要，而他們也就立刻產生啦！”。進入十六世紀，數學理論不斷發展，數學中描述運動變化的概念―――變量以及函數的概念成為百年數學研究的中心。所以，函數的本質就是以公式或圖形的形式，表示物質或事物在變量下的一種積累的過程。
3.函數的發展
在函數成為近、現代數學研究的基本理論后，函數很快充斥數學的一切研究領域，并成為數學研究的基本思路之一。隨著科學技術的發展和科學知識的不斷普及，人們對變量、函數的認識不斷加強，數學科學也從初等數學時期進入高等數學時期。函數對人類思維方式的影響有了質的變化，也促進了數學科學和現代科技的蓬勃發展。因此也就可以說，函數是近、現代數學的基石。函數概念產生本身就標志著數學思想方法的一種重大挫折。而函數的應用就改寫了數學的面貌，從對象到理論，方法，結構發生了根本的變化。
4.函數在高中教學中的應用
在高中時期，學生學習的函數一般可以分為函數、函數的表示方式、函數的單調性和反函數等四個方面，函數作為高中教育階段最主要的內容之一，對高中時期的概念和性質，在給正面數量關系后，還必須借助圖形來直觀地揭示函數的另一面，并用不同的語言、不同的形勢、不同的角度來認識和解釋函數問題的本質。函數在高中教學體系中，占有主要地位。它與中學數學的很多學科有著密切關系。在初中“函數及其圖像”就屬于函數教學的內容。高中數學中主要學習函數包括：指數函數、對數函數、三角函數，它們都是函數教學的主體，通過不斷被對函數的研究，能夠充分認識函數的性質、圖像及其初步的應用。包括在普通高等教育中的極限、微積分初步知識等都是函數的內容。而高中的函數等都屬于初等函數，其他的教學內容也都與函數有著或大或小的關系。
四、高中數學函數教學中滲透數學思想的實踐策略
1.在概念形成過程中滲透數學思想
通常在教學過程中對于一個新知識的傳授首先是要掌握知識的概念，再是概念形成的過程，教師要給予充足的解釋，使學生在一開始接受新知識的時候就意識到數學思想在概念形成過程中的重要性。下面我們以二次函數為例。一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數，其中a成為二次項系數，b是一次項系數，c是常數項。x是自變量，y是因變量。函數圖象是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-[ b 2a]，頂點坐標是（-[b 2a]，[4ac - b2 4a]）。交點式是y=a（x-x1）（x-x2）（僅限于與x軸有焦點的拋物線），與x軸的交點坐標是A（x1，0）和B（x2，0）。通過教師對數學函數概念的描述可以優化學生對概念的理解以及應用能力。
2.教學過程中應用例題強化對數學思想的理解
下面我們舉出一個例題并根據上述對函數概念的描述對其進行解析。例題有二次函數y=x2-x-6，分別判斷此二次函數圖象的對稱軸、頂點坐標和與坐標軸的交點。解可知此函數的a=1，b=-1，c=-6，那么該函數圖象的對稱軸為直線x=-[b2a]即x=[12]，頂點坐標是（-[b2a]，[4ac - b24a ]），即（[12]，-[251]）；因為此函數y=x2-x-6可以分解為y=（x+2）（x-3），其中a=1，所以該函數與坐標軸的交點分別是A（-2，0）和B（3，0）。在教師描述完函數的概念后引入例題讓學生們能及r消化對概念的理解，并通過例題將數學思想應用于計算與分析、解決問題的過程。
此外，課堂教學確定合理的教學目標十分重要，在不同的教學階段應該給學生以不同層次的學習體驗。高一、高二新授課的函數教學，要十分注重基礎知識和基本技能，并在此基礎上注重引導學生感悟數學函數的基本思想，從而為后續的教學和高三的復習教學作必要和可能的鋪墊。
【基金項目】本文為重慶市教育學會第八屆（2015-2017年）基礎教育科研立項課題（重點課題）“高中數學教學中問題呈現的直觀化對學生思維的影響”（課題批準號：XH2015A15）系列論文之一.
一、“數形結合”思想方法概述
（一）數形結合思想方法
中學數學研究的對象是現實世界的數量關系（數）和空間形式（形），數是數量關系的體現，而形則是空間形式的體現.“數”與“形”常依一定的條件相互聯系，抽象的數量關系有形象和直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質也常用數量關系加以精確描述.那么“數形結合”就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，著名數學家華羅庚說過：“數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”這首小詩形象、生動、深刻的指明了數形結合的價值，也揭示了數形結合的本質.
（二）數形結合思想的價值
數形結合這種思維方法的應用，有助于我們解決許多問題，同時加深我們對數學問題本質的認識，使數學更具有創造性.
通過數形結合，首先是我們對幾何圖形性質的討論更廣泛、更深入了，研究的對象也更寬泛，方法更一般化了.其次是為代數問題提供了幾何直觀.由于代數借用了幾何的術語，運用了與幾何類比而獲得新的生命力，如線性代數正是借用了幾何學中的空間、線性等概念，用類比的方法把自己充實起來而迅速發展的.代數方法便于精細計算，幾何圖形直觀形象，數形結合、相互促進，使我們加深了對數量關系與空間形式的認識.數形結合把點與數、曲線與方程之間建立一一對應的思考方法，啟發我們將方程視為點，把某類函數的全體視作空間.形成了一種聯想的思維方式，拓展了我們思維的廣度與深度.
（三）“數形結合”思想方法在中學教學中的地位
1.從新課程對“四基”的要求來看數形結合思想
四基是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.教師應幫助學生領會數學思想方法、掌握知識與技能，積累經驗.數學知識之間是相互聯系的，數學核心概念、基本思想始終貫穿于中學教學.由于數學高度抽象性，新課標把數形結合思想作為中學數學的重要思想.
2.從新課標對思維能力的要求來看數形結合思想
數形結合思想能幫助學生思維意識的提升.通過數形有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合，讓學生抽象思維具體化，初步形成辯證思維能力，同時幫助學生多角度、多層次思考問題.
3.從新課標數學內容的特點來看數形結合思想
數學過于抽象、過于形式化、過于符號化給人產生遙遠的距離感.再加上它曲折奧妙的邏輯推理造成學生認知上的特殊難度.可是通過數形結合思想可以形象直觀的揭示問題的本質，減輕學習的負擔，引發學生對數學的興趣.
4.從教與學的現狀來看數形結合思想
數形結合思想方法已深入中學解題功能，但在實際教育中還未真正落實到位，主要表現在數形結合思想方法的教育目標不夠明確，課堂教學隨意性，盲目性大，而計劃性、系統性、有序性、層次性、過程性則顯得不足.造成學生用數形結合思想方法來分析解決問題能力太差.因此，在教學中如何充分發揮數形結合思想的作用，重視數形結合方法的運用，是一個值得研究的課題.
二、數形結合在高中數學教學中的體現
在高中數學教材中，許多數式與方程都有幾何意義，許多圖形又都可以用數式與方程表示，這種對應關系是相互聯系密不可分的.如：
（1）實數對（a，b）與平面內的點（a，b）對應.
（2）方程y=kx+b的幾何意義是直角坐標平面上的一條直線，其中數k的幾何意義是斜率，即直線傾斜角的正切值；數b的幾何意義是直線在y軸上的截距.
（3）函數與圖像的對應關系：如：二次函數對應拋物線；三角函數對應正弦曲線等等.
三、部分案例分析
（一）利用數形結合思想解決最值、值域問題
利用數形結合思想有時可以解決一些比較復雜的最值和值域問題.特別是一些三角函數的題目.
應用數形結合解題時要注意以下兩點：其一數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題必須是等價的；其二，利用“數”的精確性和“形”的直觀性.總之，要讓學生真正掌握數形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個典型習題并把學生講懂了，就認為學生領會了數形結合這一思想方法，是片面的.教師要有做好長期滲透的思想，平時要求學生認真上好每一堂課，學好新教材的系統知識，掌握各種函數的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質.
【參考文獻】
高中階段的主要教學目的就是要突出培養學生的計算能力、空間想象能力、邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。雖然這些能力在初中數學教學過程中也有所體現，但是在高中階段才真正被提上日程，充分地表現了出來。要做好初高中數學教學的銜接工作，筆者認為可以采用以下幾種措施。
一、明確教學要求
學生進入高一，一方面。教師不應該是忙忙碌碌于教授新課，而是應該對自己所教班級中學生的數學知識情況進行必要的摸底考試，了解學生的知識掌握程度和學習習慣；另一方面，教師不應該只專注于高中數學教材和大綱的研究和學習，還應結合初中數學知識體系，分析相對于初中的數學來說，高一教學內容的特點。在這個聯系和比較中，就很容易地找到初高中知識的銜接點，建立知識網絡。這樣既能達到溫故而知新的教學目的，又能幫助學生真正地理解數學知識和基本思想方法。
二、引領學習方法
密鑰共享的基本思想，可以通過如下例子來表述：某個銀行的保險庫，每天至少需要用密碼（即密鑰）打開一次；銀行雇傭四位出納，但是銀行為提高保險庫的安全性并不想將密鑰委托給單個出納。這時，銀行可以利用密鑰共享的方法來設計一個安全的系統保護這個密鑰。在該系統中，銀行把密鑰分成四部分并獨立分發給四位出納；該系統保證任意三位或四位出納同時在場才可用密鑰打開保險庫，而任意單獨或兩位的出納不能打開保險庫。此外，即使有一位出納的那份密鑰意外地丟失，其他三位出納仍然可正常恢復整個密鑰。對于上述的問題和要求，如何用一個數學的方法來有效地解決呢？
二、問題的求解
解法一：解方程組方法
1979年，著名密碼學家阿迪?沙米爾利用解方程組的方法給出了一個簡單且有效的方法。我們用一個簡單的例子展示該方法：在數字化世界中，可假設密鑰是一個數字，這是發揮數學作用的第一步。具體地，設密鑰為2，四位出納分別用1、2、3和4表示，選取一個二次多項式f（x）=2+3x+x2，它滿足f（0）=2，即當x取零時，由這個多項式計算的結果恰好是密鑰值2；計算f（1）=6，f（2）=12，f（3）=20和f（4）=30，并把這四個值分別秘密地分發給四位出納。這樣，我們已經完成這個保護系統的設置，該密鑰的部分密鑰分別由四位出納安全地保管。假設前三位出納同時在場，此時只需把由他們保管的秘密值6、12、20拿出來，大家就可以用解方程組的方法簡單地恢復得到密鑰值，計算過程如下：假設該二次方程是f（x）=a+bx+cx2，則可得到如下方程組：
a+b+c=6a+2b+4c=12a+3b+9c=20
通過求解該方程組，可得a=2，即f（0）=a=2為密鑰值。若只有一位或兩位出納同時在場，由解方程組的方法可知，則他們只能得到有一個方程或兩個方程的方程組，但有三個未知數，故該秘密值無法正確地被恢復。
解法二：幾何方法
現在，從幾何角度來更直觀地分析一下上述方法。我們先把出納的代表值和各自的部分秘密值分別看成直角坐標系中的坐標點，即（1，6）、（2，12）、（3，20）和（4，30），且把密鑰也看一個坐標點（0，2）。可把二次多項式看成一條二次曲線，密鑰值是該曲線與縱軸的交點，每位出納的部分秘密值均是曲線上某個點的縱坐標值（見圖1）。由二次曲線的性質可知，若已知曲線上的三個坐標點，可容易在直角坐標系上畫出完整的曲線，即可以獲得與縱軸的交點值；若僅知道曲線上一個或兩個坐標點（如A和B，見圖2），那么該曲線與縱軸的交點可能有無數個（如：C1， C2， …， Cn），即無法確定該密鑰值。
綜上所述，我們分別從代數的觀點和幾何的觀點，分析了密鑰共享的基本思想，充分展現了高中代數學習中“數形結合”的思想方法。從這兩個角度看問題，不僅可以讓學生直觀體驗到數形結合的思想方法，提高學生對數學的鑒賞力和學習數學的興趣，而且可以幫助學生對密鑰共享方法的理解，提高他們對“信息安全和密碼”學習的興趣，有利于學生進一步發展，對實現“信息安全與密碼”模塊教學也起到探索的作用。
高三數學復習量大面廣、思想方法多，聯系緊密，內涵豐富，相對于其他學科而言，內容抽象，邏輯嚴謹。因此不少學生既感到畏懼，又無從下手。另外高中數學內容多，復習時間緊，學生的學業負擔較重。如何提高高三數學復習的針對性和實效性呢？因此在數學備考復習時，需要講究方法，注重實效，老師要引領到位、不做無用之功，減輕學生的學習負擔。
一、回歸教材，構建完整的數學知識網絡
教材是考試內容的媒介，是高考命題的重要依據，也是學生思維能力的生長點。只有吃透課本上的例題和習題，才能全面、系統地掌握基礎知識、基本技能和基本方法及基本思想，構建完整的數學知識網絡，以不變應萬變。
重視數學基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的掌握和運用。基礎知識、基本技能和基本數學思想方法仍是考生復習的重中之重，復習中要以課本例題、習題為載體，抓好基礎題型和通性通法的熟練掌握，淡化特殊技巧。教師應通過教材練習題的重組、演變、推廣，使學生從不同角度和不同側面深入地把握問題的本質，形成理解數學概念、解決數學問題的基本活動經驗。學生也應做到：課堂勤做筆記，課后認真思考，對任何問題先思考、后解答，對錯題要經常反思總結，將平時每一次考試都當成高考一樣認真對待，形成良好的應考心理、技能，以及規范答題的習慣。
二、強化基本概念的復習，培養學生的解題技巧
數學是概念的游戲，概念是實施數學教學和創造的源泉，沒有概念，教學就無法入手，解題也就失去依據。因此在高中數學總復習中，必須牢牢把握高中數學概念的復習，使每個考生對高中數學考點中的概念做到心中有數，有的放矢，同時根據高中數學概念推導出相應的公式和定理。比如等差數列，首先應明確等差數列的概念，然后再根據等差數列的概念推導出等差數列的通項公式，通過等差數列通項公式的研究再找出等差數列的性質，在根據等差數列的和的定義，再推導出等差數列的前n項和公式與前n項和公式的相關性質。實際上，高中數學公式很多都是根據概念推導出來的，這樣不僅熟悉了數學概念，同時也讓學生掌握了公式的來龍去脈，展示了公式的推導過程，培養了學生的邏輯推理能力和數學公式的發現過程，極大的培養了學生的創造能力，因此公式、定理的推導過程本來就是一個再創造，再發現的過程。當然，還要注重知識間的聯系與整合，加強數學知識網絡交匯點處試題命制的研究，培養學生的解題策略和答題技巧。
三、注重數學思想和數學理性思維能力的培養
我們在總復習中既要重視數學思想、數學方法的復習，還要重視數學理性思維能力的復習。中學數學知識中所蘊涵的數學思想和方法主要有：數形結合思想、函數和方程思想、分類討論思想、化歸與轉化思想。數學思想方法和數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得，與此同時又應該領會它們在形成知識中的作用，到了復習階段就應該對數學思想和數學基本方法進行疏理、總結、逐個認識它們的本質特征、思維程序或者操作程序，逐步做到自覺地、靈活地施用于所要解決的問題。實際上近幾年的每一道高考試題幾乎都考慮到數學思想或數學基本方法的運用，目的也是加強這些方面的考查。因此，在平時的復習中，就要有意識、有目的的加強數學思想和數學基本方法的總結、應用和反思。中學數學知識中所蘊涵的理性思維能力包括：邏輯推理、演繹證明、歸納抽象、直覺猜想、運算求解等方面的內容。在復習時，我們要有意識地從多角度、多緯度、多視野地提高數學思維能力，既不要只是局限于邏輯思維能力的練習，還要訓練歸納抽象、直覺猜想、運算求解等，使自己的思維能力能夠較全面地、系統地得到提高。
四、精選習題，強化訓練，提高備考復習的有效性
